Xét các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 426647:

Vận dụng cao

Xét các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 4x + 6y\) bằng

A. \(\dfrac{{33}}{4}\).

B. \(\dfrac{{65}}{8}\).

C. \(\dfrac{{49}}{8}\).

D. \(\dfrac{{57}}{8}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:426647

Giải chi tiết

Với mọi \(x,\,y\) không âm ta có

\(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3 \Leftrightarrow x + y.\dfrac{{{4^{x + y - 1}}}}{2} \ge \dfrac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow x + y.\dfrac{{{4^{x + y - 1}}}}{{{4^{\frac{1}{2}}}}} \ge \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x + y{.4^{x + y - \frac{3}{2}}} \ge \dfrac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y - \dfrac{3}{2}} \right) + y.\left( {{4^{x + y - \frac{3}{2}}} - 1} \right) \ge 0\) (1)

Nếu \(x + y - \dfrac{3}{2} < 0\) thì \(\left( {x + y - \dfrac{3}{2}} \right) + y.\left( {{4^{x + y - \frac{3}{2}}} - 1} \right) < 0 + y.\left( {{4^0} - 1} \right) = 0\) (vô lí)

Vậy \(x + y \ge \dfrac{3}{2}\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta được

\(P = {x^2} + {y^2} + 4x + 6y = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} - 13\)

\( \ge \dfrac{1}{2}{\left( {x + y + 5} \right)^2} - 13 \ge \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{3}{2} + 5} \right)^2} - 13 = \dfrac{{65}}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \dfrac{3}{2}\\x + 2 = y + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{4}\\y = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\).

Vậy \(\min P = \dfrac{{65}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.