Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có không quá \(728\) số nguyên \(y\) thỏa

Câu hỏi số 426648:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có không quá \(728\) số nguyên \(y\) thỏa mãn \({\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _3}(x + y)\)?

A. \(59\).

B. \(58\).

C. \(116\).

D. \(115\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:426648

Giải chi tiết

Với mọi \(x \in \mathbb{Z}\) ta có \({x^2} \ge x\).

Xét hàm số \(f(y) = {\log _3}(x + y) - {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right)\).

Tập xác định \({\rm{D}} = ( - x; + \infty )\) (do \(y > - x \Rightarrow y > - {x^2}\)).

\(f'(y) = \dfrac{1}{{(x + y)\ln 3}} - \dfrac{1}{{\left( {{x^2} + y} \right)\ln 4}} \ge 0,\,\,\forall x \in D\) (do \({x^2} + y \ge x + y > 0\),\(\ln 4 > \ln 3\))

\( \Rightarrow \)\(f\) tăng trên \({\rm{D}}\).

Ta có \(f( - x + 1) = {\log _3}(x - x + 1) - {\log _4}\left( {{x^2} - x + 1} \right) \le 0\)

Có không quá 728 số nguyên \(y\) thỏa mãn \(f\left( y \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow f( - x + 729) > 0 \Leftrightarrow {\log _3}729 - {\log _4}\left( {{x^2} - x + 729} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x + 729 - {4^6} < 0\)\( \Leftrightarrow \)\({x^2} - x - 3367 < 0\)

\( \Leftrightarrow - 57,5 \le x \le 58,5\)

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 57,\, - 56,\,...,\,58} \right\}\).

Vậy có \(58 - ( - 57) + 1 = 116\) số nguyên \(x\) thỏa.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.