Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy,

Câu hỏi số 427081:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(\dfrac{{43\pi {a^2}}}{3}\).

B. \(\dfrac{{19\pi {a^2}}}{3}\).

C. \(\dfrac{{43\pi {a^2}}}{9}\).

D. \(21\pi {a^2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:427081

Phương pháp giải

Xác định điểm \(K\) cách đều 4 điểm \(S,A,B,C\), khi đó \(K\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\)

Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).

Giải chi tiết

Gọi\(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(BC,SA\). Gọi \(G\)trọng tâm tam giác đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(BC \bot AI\), lại có \(BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AI \bot BC,AI \subset \left( {ABC} \right)\\SI \bot BC,SI \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\) nên góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SI\) và \(AI\)

Hay \(\widehat {SIA} = 60^\circ .\) Xét tam giác \(SAI\) vuông tại \(A\) ta có:

\(SA = AI.\tan 60^\circ = 3a\)\( \Rightarrow KG = \dfrac{{SA}}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\)

Qua \(G\) ta dựng đường thẳng \(\Delta \bot \left( {ABC} \right)\).

Dựng trung trực \(SA\) cắt đường thẳng \(\Delta \) tại \(K\), khi đó \(KS = KA = KB = KC\) nên \(K\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\).

Ta có \(R = KA = \sqrt {K{G^2} + A{G^2}} = a.\sqrt {\dfrac{{43}}{{12}}} \).

Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2} = \dfrac{{43\pi {a^2}}}{3} \cdot \)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.