Xét các số thực dương không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y \cdot {4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị

Câu hỏi số 427095:

Vận dụng cao

Xét các số thực dương không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y \cdot {4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y\) bằng

A. \(\dfrac{{33}}{8}\).

B. \(\dfrac{9}{8}\).

C. \(\dfrac{{21}}{4}\).

D. \(\dfrac{{41}}{8}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:427095

Phương pháp giải

Biến đổi đưa về dạng \(f\left( u \right) \ge f\left( v \right) \Leftrightarrow u \ge v\) với \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến

Từ đó tìm được mối quan hệ của \(x,y\), thay vào biểu thức \(P\) để tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Ta có \(2x + y \cdot {4^{x + y - 1}} \ge 3 \Leftrightarrow y \cdot {2^{2x + 2y - 2}} \ge 3 - 2x \Leftrightarrow 2y \cdot {2^{2y}} \ge (3 - 2x) \cdot {2^{3 - 2x}}\) (1).

+ Với \(y \ge 0;\,x \ge \dfrac{3}{2}\) thì \(\left( 1 \right)\) luôn đúng và \(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y \ge \dfrac{{21}}{4}\) .

+ Với \(y \ge 0;\,x < \dfrac{3}{2}\) :

Xét hàm số \(f(t) = t \cdot {2^t}\), \(t > 0\), ta có \(f\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và \({f^\prime }(t) = {2^t} + t \cdot {2^t}\ln 2 > 0,\forall t > 0\)

\( \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow f(2y) \ge f(3 - 2x) \Leftrightarrow 2x + 2y \ge 3 \Leftrightarrow y \ge \dfrac{3}{2} - x\).

Khi đó \(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y \ge {x^2} + {\left( {\dfrac{3}{2} - x} \right)^2} + 2x + 2\left( {3 - 2x} \right) = 2{x^2} - 5x + \dfrac{{33}}{4}\)\( = 2{\left( {x - \dfrac{5}{4}} \right)^2} + \dfrac{{41}}{8} \ge \dfrac{{41}}{8}\) (3)

So sánh (2) và (3) ta thấy GTNN của \(P\) là \(\dfrac{{41}}{8}\) khi \(x = \dfrac{5}{4},y = \dfrac{1}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.