Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có không quá \(127\) số nguyên \(y\) thỏa
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có không quá \(127\) số nguyên \(y\) thỏa mãn \({\log _3}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _2}\left( {x + y} \right)\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Đặt \(t = x + y\) sau đó đưa về xét hàm \(f\left( t \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x + t} \right) - {\log _2}t\) với \(t \ge 1.\)
+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x,\,\,y \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow x + y \ge 1\).
+ Đặt \(t = x + y\), \(t \ge 1,\,\,t \in \mathbb{N}\).
Bất phương trình đã cho trở thành: \({\log _3}\left( {{x^2} - x + t} \right) - {\log _2}t \ge 0\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x + t} \right) - {\log _2}t\), \(t \ge 1\).
\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{\left( {{x^2} - x + t} \right)\ln 3}} - \dfrac{1}{{t\ln 2}}\).
Với \(x \in \mathbb{Z}\) , ta có \({x^2} - x \ge 0 \Rightarrow {x^2} - x + t \ge t \ge 1\)\( \Rightarrow 0 < \dfrac{1}{{{x^2} - x + t}} \le \dfrac{1}{t}\).
Mặt khác \(\dfrac{1}{{\ln 3}} < \dfrac{1}{{\ln 2}}\) .
Suy ra \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{\left( {{x^2} - x + t} \right)\ln 3}} - \dfrac{1}{{t\ln 2}} < 0,\,\,\forall t \ge 1\).
Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;\,\, + \infty } \right)\).
Bảng biến thiên:
+ Với mỗi \({x_0} \in \mathbb{Z}\) , có không quá \(127\) giá trị \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
\( \Leftrightarrow \) Có không quá \(127\) giá trị của \(t\) thỏa mãn \(f\left( t \right) \ge 0,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \)\(f\left( {128} \right) < 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - x + 128} \right) - {\log _2}128 < 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - x + 128 - {3^7} < 0\) \( \Leftrightarrow - 44 \le x \le 45\)(vì \(x \in \mathbb{Z}\)).
Vậy có \(90\) giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
