Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 và đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Chứng minh đường thẳng d luôn cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm tọa độ điểm C thuộc đường tròn (C) sao cho diện tích ∆ABC lớn nhất.

Câu hỏi số 42784:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x²+ y² - 4x - 4y + 4 = 0 và đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Chứng minh đường thẳng d luôn cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm tọa độ điểm C thuộc đường tròn (C) sao cho diện tích ∆ABC lớn nhất.

A. C(1 - √2; 1 + √2)

B. C(2 - √2; 2 + √2)

C. C(2 + √2; 2 + √2)

D. C(1 - √2; 2 + √2)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42784

Giải chi tiết

Đường tròn (C) có tâm I(2; 2), bán kính R = 2

Tọa độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+y-2=0\\ x^{2}+y^{2}-4x-4y+4=0 \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} y=2-x\\ \begin{bmatrix} x=0\\ x=2 \end{matrix} \end{matrix}\right.$

<=> $\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=2 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=0 \end{matrix}\right. \end{matrix}$

Vậy d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(2; 0) và B(0; 2)

Gọi H là hình chiếu của C trên AB

Ta có: S_∆ABC= $\frac{1}{2}$ CH.AB

Do đó: S_∆ABC lớn nhất khi CH lớn nhất

Dễ dàng thấy CH lớn nhất khi C = (C) ∩ ∆ và x_c > 2 trong đó ∆ qua tâm I và vuông góc với AB

Phương trình ∆: y = x

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} y=x\\ x^{2}+y^{2}-4x-4y+4=0 \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} y=x\\ \begin{bmatrix} x=2+\sqrt{2}\\ x=2-\sqrt{2} \end{matrix} \end{matrix}\right.$

=> C(2 + √2; 2 + √2)

Vậy C(2 + √2; 2 + √2) thì S_∆ABC lớn nhất.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.