Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = a\sqrt 3 \), \(BC = a\). Tam
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = a\sqrt 3 \), \(BC = a\). Tam giác \(SAC\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBC} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
- Tính \({S_{\Delta ABC}}\), từ đó tính \({V_{S.ABC}}\).
- Tính các cạnh của tam giác \(SBC\), chứng minh \(\Delta SBC\) cân tại \(S\), từ đó tính \({S_{\Delta SBC}}\).
- Tính khoảng cách \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}}\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\), vì \(\Delta SAC\) đều nên \(SH \bot AC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AC\\SH \subset \left( {SAC} \right),\,\,SH \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Xét tam giác vuông \(ABC\): \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\).
\( \Rightarrow \Delta SAC\) đều cạnh \(2a\) \( \Rightarrow SH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) và \(SC = 2a\).
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) nên \(BH = \dfrac{1}{2}AC = a\).
Xét tam giác vuông \(SBH\) có: \(SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} = 2a = SC\).
\( \Rightarrow \Delta SBC\) cân tại \(S\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow SM \bot BC\) và \(BM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}\).
Xét tam giác vuông \(SBM\): \(SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta SBC}} = \dfrac{1}{2}SM.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\).
Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 .a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\).
Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}}}{2}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}}} = \dfrac{{2a\sqrt {15} }}{5}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
