Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Qua trung điểm \(I\) của cạnh \(AB\) dựng đường thẳng

Câu hỏi số 427932:

Thông hiểu

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Qua trung điểm \(I\) của cạnh \(AB\) dựng đường thẳng \(\left( d \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Trên \(\left( d \right)\) lấy điểm \(S\) sao cho \(SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tính khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

A. \(d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = a\)

C. \(d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

D. \(d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:427932

Phương pháp giải

- Tính \({V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{3}SI.{S_{\Delta ACD}}\).

- Chứng minh \(\Delta SAD\) vuông, tính \({S_{\Delta SAD}}\).

- Sử dụng công thức \(d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{\Delta SAD}}}}\).

Giải chi tiết

Ta có: \({S_{\Delta ACD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{3}SI.{S_{\Delta ACD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SA\) \( \Rightarrow \Delta SAD\) vuông tại \(A\).

Xét tam giác vuông \(SAI\): \(SA = \sqrt {S{I^2} + A{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = a\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta SAD}} = \dfrac{1}{2}SA.AD = \dfrac{1}{2}.a.a = \dfrac{{{a^2}}}{2}\).

Vậy \(d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{\Delta SAD}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\dfrac{{{a^2}}}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.