Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AC = AD = 4\), \(AB = 3\), \(BC = 5\). Tính khoảng

Câu hỏi số 427934:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AC = AD = 4\), \(AB = 3\), \(BC = 5\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).

A. \(\dfrac{{12}}{{\sqrt {34} }}\)

B. \(\dfrac{4}{{\sqrt {34} }}\)

C. \(\dfrac{6}{{\sqrt {34} }}\)

D. \(\dfrac{5}{{\sqrt {34} }}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:427934

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí Pytago đảo, chứng minh \(\Delta ABC\) vuông.

- Tính \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AD.{S_{\Delta ABC}}\).

- Trong \(\left( {ABC} \right)\) dựng \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\), chứng minh \(DH \bot BC\) và tính \({S_{\Delta BCD}}\).

- Tính \(d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}}\).

Giải chi tiết

Xét \(\Delta ABC\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) (Định lí Pytago đảo).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6\).

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AD.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.4.6 = 8\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) dựng \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow BC \bot DH\).

Ta có: \(AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{3.4}}{5} = \dfrac{{12}}{5}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow DH = \sqrt {A{D^2} + A{H^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {\dfrac{{12}}{5}} \right)}^2}} = \dfrac{{4\sqrt {34} }}{5}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta BCD}} = \dfrac{1}{2}DH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{4\sqrt {34} }}{5}.5 = 2\sqrt {34} \).

Vậy \(d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \dfrac{{3.8}}{{2\sqrt {34} }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt {34} }}\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.