Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(E\) là trung điểm của cạnh \(CD\). Biết thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBE} \right)\) theo \(a\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Tính \(SA = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}}\).
- Tính \({S_{ABE}} = {S_{ABCD}} - {S_{BCE}} - {S_{ADE}}\), từ đó tính \({V_{S.ABE}}\).
- Sử dụng định lí Pytago tính các cạnh của tam giác \(SBE\).
Sử dụng công thức Herong tính diện tích tam giác: \({S_{\Delta SBE}} = \sqrt {p\left( {p - SB} \right)\left( {p - SE} \right)\left( {p - BE} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác \(SBE\).
- Sử dụng công thức \(d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABE}}}}{{{S_{\Delta SBE}}}}\).
Ta có: \(\left( {ABE} \right) \equiv \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {S;\left( {ABE} \right)} \right) = d\left( {S;ABCD} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}}}{3}}}{{{a^2}}} = a = SA\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{BCE}} = \dfrac{1}{2}BC.CE = \dfrac{1}{2}.a.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\\{S_{ADE}} = \dfrac{1}{2}AD.DE = \dfrac{1}{2}.a.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow {S_{ABE}} = {S_{ABCD}} - {S_{BCE}} - {S_{ADE}} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\end{array}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABE}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABE}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).
Xét tam giác vuông \(SAB\): \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).
Xét tam giác vuông \(BCE\): \(BE = \sqrt {B{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} = AE\).
Xét tam giác vuông \(SAE\): \(SE = \sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{3a}}{2}\).
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(SBE\) \( \Rightarrow p = \dfrac{{SB + BE + SE}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 + \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{3a}}{2}}}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta SBE}} = \sqrt {p\left( {p - SB} \right)\left( {p - SE} \right)\left( {p - BE} \right)} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\).
Vậy \(d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABE}}}}{{{S_{\Delta SBE}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}}}{6}}}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} = \dfrac{{2a}}{3}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
