Tổng khoảng cách từ một điểm trong bất kì của khối tứ diện đều cạnh \(a\) đến tất cả
Tổng khoảng cách từ một điểm trong bất kì của khối tứ diện đều cạnh \(a\) đến tất cả các mặt của tứ diện bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Gọi \(H\) là tâm tam giác đều \(ABC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
- Sử dụng tính chất tam giác đều và định lí Pytago tính \(SH\), từ đó tính \({V_{S.ABC}}\).
- Phân chia khối đa diện: \({V_{S.ABC}} = {V_{M.ABC}} + {V_{M.SAB}} + {V_{M.SBC}} + {V_{M.SAC}}\).
- Áp dụng công thức \(d\left( {M;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{{V_{M.SAB}}}}{{{S_{\Delta SAB}}}}\).
Giả sử ta có khối tứ diện đều \(S.ABC\). Gọi \(H\) là tâm tam giác đều \(ABC\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Xét tam giác vuông \(SAH\): \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
Gọi \(M\) là điểm bất kì nằm trong khối tứ diện đều, ta có: \({V_{S.ABC}} = {V_{M.ABC}} + {V_{M.SAB}} + {V_{M.SBC}} + {V_{M.SAC}}\).
Gọi \({d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3},\,\,{d_4}\) lần lượt là khoảng cách từ điểm \(M\) đến các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(\left( {SAB} \right)\), \(\left( {SBC} \right)\), \(\left( {SCA} \right)\).
Do tứ diện \(S.ABC\) đều cạnh \(a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta SAB}} = {S_{\Delta SBC}} = {S_{\Delta SAC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{V_{S.ABC}} = {V_{M.ABC}} + {V_{M.SAB}} + {V_{M.SBC}} + {V_{M.SAC}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{1}{3}{d_1}.{S_{\Delta ABC}} + \dfrac{1}{3}{d_2}.{S_{\Delta SAB}} + \dfrac{1}{3}{d_3}.{S_{\Delta SBC}} + \dfrac{1}{3}{d_4}.{S_{\Delta SAC}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{1}{3}\left( {{d_1} + {d_2} + {d_3} + {d_4}} \right).\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\ \Leftrightarrow {d_1} + {d_2} + {d_3} + {d_4} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
