Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;0;0), M(1;1;1). Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi nhưng luôn qua đường thẳng đường thằng AM và cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại B(0;b;0), C(0;0;c) với b,c>0 Chứng minh: b+c= và tìm b,c để S∆ABC nhỏ nhất

Câu hỏi số 4281:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;0;0), M(1;1;1). Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi nhưng luôn qua đường thẳng đường thằng AM và cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại B(0;b;0), C(0;0;c) với b,c>0 Chứng minh: b+c= $\frac{bc}{2}$ và tìm b,c để S_∆ABC nhỏ nhất

A. b=5; c=1

B. b=4; c=3

C. b=c=4

D. b=c=5

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:4281

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,B,C.

Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đoạn chắn:

(P): $\frac{x}{2}$ + $\frac{y}{b}$ + $\frac{z}{c}$ =1

Lại có: M(1;1;1) ∈(P) nên:

$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ =1 => $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ = $\frac{1}{2}$ <=> b+c= $\frac{bc}{2}$ .

Để tính diện tích tam giác ABC ta áp dụng tính chất của tích có hướng của 2 vecto

S_∆ABC = $\frac{1}{2}$ |[ $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ ]|

Có: $\vec{AB}$ =(-2;b;0)

$\vec{AC}$ =(-2;0;c)

=> [ $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ ]=(bc;2c;2b)

Từ đó suy ra:

S_∆ABC = $\frac{1}{2}$ |[ $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ ]|= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{b^{2}c^{2}+4c^{2}+4b^{2}}$ .

Ta có:

$\frac{b+c}{2}$ ≥ $\sqrt{bc}$ dấu ''='' khi b=c

Theo trên:

b+c= $\frac{bc}{2}$ => $\frac{bc}{2}$ ≥2 $\sqrt{bc}$ => bc≥16

S= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{b^{2}c^{2}+4c^{2}+4b^{2}}$ ≥ $\frac{1}{2}$ $\sqrt{b^{2}c^{2}+2\sqrt{4c^{2}+4b^{2}}}$

≥ $\frac{1}{2}$ $\sqrt{16^{2}+8.16}$ =4 $\sqrt{6}$

Vậy GTNN S_∆ABC =4 $\sqrt{6}$ đạt được khi:

$\left\{\begin{matrix} b=c\\b+c=\frac{bc}{2} \end{matrix}\right.$ <=> b=c=4

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.