Cho \(xyz = 1\) . Chứng minh \(\dfrac{1}{{1 + x + xy}} + \dfrac{1}{{1 + y + yz}} + \dfrac{1}{{1 + z + zx}} =

Câu hỏi số 428670:

Vận dụng cao

Cho \(xyz = 1\) . Chứng minh \(\dfrac{1}{{1 + x + xy}} + \dfrac{1}{{1 + y + yz}} + \dfrac{1}{{1 + z + zx}} = 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428670

Phương pháp giải

Bước 1: Dựa vào \(xyz = 1 \Rightarrow z = \dfrac{1}{{xy}}\)

Bước 2: Thay \(z\) ở vế trái bằng \(\dfrac{1}{{xy}}\) và thực hiện thu gọn phân thức hữu tỉ.

Giải chi tiết

Ta có: \(xyz = 1 \Leftrightarrow z = \dfrac{1}{{xy}}\) ta thay vào vế trái đẳng thức được.

\(\begin{array}{l}VT = \dfrac{1}{{1 + x + xy}} + \dfrac{1}{{1 + y + yz}} + \dfrac{1}{{1 + z + zx}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1 + x + xy}} + \dfrac{1}{{1 + y + y.\dfrac{1}{{xy}}}} + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{xy}}.x}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1 + x + xy}} + \dfrac{1}{{1 + y + \dfrac{1}{x}}} + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{y}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1 + x + xy}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{x + xy + 1}}{x}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{xy + 1 + x}}{{xy}}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1 + x + xy}} + \dfrac{x}{{1 + x + xy}} + \dfrac{{xy}}{{1 + x + xy}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + x + xy}}{{1 + x + xy}}\\\,\,\,\,\,\,\, = 1\end{array}\)

Như vậy \(VT = VP\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link