Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán
Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 42892:

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:\frac{x(y+z)}{4-yz}+\frac{y(z+x)}{4-zx}+\frac{z(x+y)}{4-xy}\geq 2xyz

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:42892
Giải chi tiết

(1) \Leftrightarrow \frac{y+z}{yz(4-yz)}+\frac{z+x}{zx(4-zx)}+\frac{x+y}{xy(4-xy)}\geq 2   (2)

Ta có: \frac{y+z}{yz(4-yz)}\geq \frac{2\sqrt{yz}}{yz(4-yz)}=\frac{2}{\sqrt{yz}(4-yz)}

Đặt t = \sqrt{yz}, 0 < t < \frac{3}{2}

Ta có: \frac{1}{4t-t^{3}}\geq \frac{-t+4}{9}\Leftrightarrow 9 ≥ -4t2 + t4+ 16t -4t3

\Leftrightarrow(t - 1)2(t2 - 2t - 9) ≤ 0 với mọi t \forall t\in \left ( 0;\frac{3}{2} \right )

Suy ra: \frac{y+z}{yz(4-yz)}\geq \frac{2}{\sqrt{yz}(4-yz)}\geq \frac{-2\sqrt{yz}+8}{9}

Chứng minh tương tự ta có: \frac{z+x}{zx(4-zx)}\geq \frac{2}{\sqrt{zx}(4-zx)}\geq \frac{-2\sqrt{zx}+8}{9}

\frac{x+y}{xy(4-xy)}\geq \frac{-2\sqrt{xy}+8}{9}

Từ đó suy ra: VT(2) \geq \frac{-2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})+24}{9}\geq \frac{-2(x+y+z)+24}{9}=2(đpcm)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn