Chứng minh các hệ thức sau: a) \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\)

Câu hỏi số 431011:

Vận dụng

Chứng minh các hệ thức sau:

a) \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) b) \(\dfrac{1}{{k + 1}}C_n^k = \dfrac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\)

c) \(C_n^k + 2C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2} = C_{n + 2}^k\) d) \({\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:431011

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) và khai triển \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \).

Giải chi tiết

a) \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\).

\(\begin{array}{l}VT = kC_n^k = k.\dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}\\VP = nC_{n - 1}^{k - 1} = n.\dfrac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - 1 - k + 1} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}\\ \Rightarrow VT = VP\end{array}\)

Vậy \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\).

b) \(\dfrac{1}{{k + 1}}C_n^k = \dfrac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\)

\(\begin{array}{l}VT = \dfrac{1}{{k + 1}}C_n^k = \dfrac{1}{{k + 1}}.\dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k!} \right)}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}\\VP = \dfrac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1} = \dfrac{1}{{n + 1}}.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n + 1 - k - 1} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}\\ \Rightarrow VT = VP\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{1}{{k + 1}}C_n^k = \dfrac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\).

c) \(C_n^k + 2C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2} = C_{n + 2}^k\)

Chứng minh \(C_n^k + C_n^{k - 1} = C_{n + 1}^k\).

Ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,C_n^k + C_n^{k - 1}\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}}\\ = \dfrac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}\left[ {\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{{n - k + 1}}} \right]\\ = \dfrac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}.\dfrac{{n - k + 1 + k}}{{k\left( {n - k + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}.\dfrac{{n + 1}}{{k\left( {n - k + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{k!\left( {n - k + 1} \right)!}} = C_{n + 1}^k\end{array}\)

Khi đó áp dụng ta có :

\(\begin{array}{l}VT = C_n^k + 2C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2}\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {C_n^k + C_n^{k - 1}} \right) + \left( {C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} = C_{n + 2}^k = VP\end{array}\)

Vậy \(C_n^k + 2C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2} = C_{n + 2}^k\).

d) \({\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + ... + {x^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {x^n}C_n^n\\{\left( {x + 1} \right)^n} = {x^n}C_n^0 + {x^{n - 1}}C_n^1 + {x^{n - 2}}C_n^2 + ... + xC_n^{n - 1} + C_n^n\\{\left( {1 + x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + xC_{2n}^1 + {x^2}C_{2n}^2 + ... + {x^{2n - 1}}C_{2n}^{2n - 1} + {x^n}C_{2n}^{2n}\end{array}\)

Ta có \({\left( {1 + x} \right)^n}.{\left( {x + 1} \right)^n} = {\left( {1 + x} \right)^{2n}}\).

Hệ số của \({x^n}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^n}.{\left( {x + 1} \right)^n}\) là \({\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + ... + \left( {C_n^n} \right)h2\).

Hệ số của \({x^n}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^{2n}}\) là \(C_{2n}^n\).

Vậy \({\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.