Biết hệ số của \({x^{n - 2}}\) trong khai triển \({\left( {x - \dfrac{1}{4}} \right)^n}\) bằng 31. Tìm

Câu hỏi số 431018:

Vận dụng

Biết hệ số của \({x^{n - 2}}\) trong khai triển \({\left( {x - \dfrac{1}{4}} \right)^n}\) bằng 31. Tìm \(n\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\).

A. \(n = 32\).

B. \(n = 64\).

C. \(n = 16\).

D. \(n = 60\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:431018

Phương pháp giải

Sử dụng công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \), từ đó tìm hệ số của \({x^{n - 2}}\).

Giải phương trình hệ số của \({x^{n - 2}}\) bằng 31, tìm \(n\).

Giải chi tiết

Ta có:

\({\left( {x - \dfrac{1}{4}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}{{\left( { - \dfrac{1}{4}} \right)}^{n - k}}} \).

Hệ số của \({x^{n - 2}}\) trong khai triển trên là : \(C_n^{n - 2}{\left( { - \dfrac{1}{4}} \right)^{n - n + 2}} = \dfrac{1}{{16}}C_n^2\).

Theo bài ra ta có :

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{16}}C_n^2 = 31 \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}} = 496\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 992\\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 992 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 32\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 31\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(n = 32\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.