Biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}\) bằng \(1024\). Tìm

Câu hỏi số 431019:

Vận dụng

Biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}\) bằng \(1024\). Tìm hệ số của \({x^{12}}\) trong khai triển \(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\).

A. \(252\)

B. \(120\)

C. \(-120\)

D. \(210\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:431019

Phương pháp giải

Thay \(x = 1\) tìm tổng các hệ số trong khai triển \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}\), giải phương trình tìm \(n\).

Sử dụng công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \), từ đó tìm hệ số của \({x^{12}}\).

Giải chi tiết

Thay \(x = 1\) ta có tổng tất cả các hệ số của khai triển \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}\) là \({\left( {{1^2} + 1} \right)^n} = {2^n}\).

Theo bài ra ta có : \({2^n} = 1024 = {2^{10}} \Leftrightarrow n = 10\).

Khi đó ta có : \({\left( {{x^2} + 1} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {{x^2}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{2k}}} \).

Hệ số của \({x^{12}}\) trong khai triển trên ứng với \(2k = 12 \Leftrightarrow k = 6\).

Vậy hệ số của \({x^{12}}\) trong khai triển trên là : \(C_{10}^6 = 210\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.