Trong khai triển \(P\left( x \right)\) thành đa thức \({\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{{2x}}{3}} \right)^{10}} =

Câu hỏi số 431020:

Vận dụng cao

Trong khai triển \(P\left( x \right)\) thành đa thức \({\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{{2x}}{3}} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{10}}{x^{10}}\). Tìm hệ số \({a_k}\) lớn nhất \(\left( {0 \le k \le 10} \right)\) trong khai triển trên.

A. \(\dfrac{{191}}{{95}}\).

B. \(\dfrac{{2237}}{{8380}}\).

\(\dfrac{{5120}}{{19683}}\).

D. \(\dfrac{{680}}{{1077}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:431020

Phương pháp giải

Sử dụng công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \), giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k - 1}}\\{a_k} \ge {a_{k + 1}}\end{array} \right.\) tìm \(k\).

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{{2x}}{3}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {\dfrac{{2x}}{3}} \right)}^k}{{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^{10 - k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^k}{{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^{10 - k}}{x^k}} \).

Hệ số \({a_k}\) là hệ số của \({x^k}\), ta có \({a_k} = C_{10}^k{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^k}{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{10 - k}}\).

Vì \({a_k}\) là hệ số lớn nhất nên \(\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k - 1}}\\{a_k} \ge {a_{k + 1}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{10}^k{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^k}{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{10 - k}} \ge C_{10}^{k - 1}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{k - 1}}{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{11 - k}}\\C_{10}^k{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^k}{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{10 - k}} \ge C_{10}^{k + 1}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{k + 1}}{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{9 - k}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}}.\left( {\dfrac{2}{3}} \right) \ge \dfrac{{10!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {11 - k} \right)!}}.\left( {\dfrac{1}{3}} \right)\\\dfrac{{10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}}.\left( {\dfrac{1}{3}} \right) \ge \dfrac{{10!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {9 - k} \right)!}}\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{k} \ge \dfrac{1}{{11 - k}}\\\dfrac{1}{{10 - k}} \ge \dfrac{2}{{k + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}22 - 2k \ge k\\k + 1 \ge 20 - 2k\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3k \le 22\\3k \ge 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \le \dfrac{{22}}{3}\\k \ge \dfrac{{19}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{19}}{3} \le k \le \dfrac{{22}}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

\( \Rightarrow k = 7\).

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển trên là \({a_7} = C_{10}^7{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^7}{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3} = \dfrac{{5120}}{{19683}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.