Trong khai triển thành đa thức sau \({\left( {2x + 1} \right)^{13}} = {a_0}{x^{13}} + {a_1}{x^{12}} +

Câu hỏi số 431021:

Vận dụng

Trong khai triển thành đa thức sau

\({\left( {2x + 1} \right)^{13}} = {a_0}{x^{13}} + {a_1}{x^{12}} + {a_2}{x^{11}} + ... + {a_{13}}\).

Tìm hệ số \({a_k}\) lớn nhất \(\left( {0 \le k \le 13} \right)\) trong khai triển trên.

A. \(C_{13}^7{2^7}\).

B. \(C_{13}^8{2^8}\).

C. \(C_{13}^{10}{2^{10}}\).

\(C_{13}^9{2^9}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:431021

Phương pháp giải

Sử dụng công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \), giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k - 1}}\\{a_k} \ge {a_{k + 1}}\end{array} \right.\) tìm \(k\).

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {2x + 1} \right)^{13}} = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{{\left( {2x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{2^k}{x^k}} \).

Hệ số \({a_k}\) là hệ số của \({x^k}\), ta có \({a_k} = C_{13}^k{2^k}\).

Vì \({a_k}\) là hệ số lớn nhất nên \(\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k - 1}}\\{a_k} \ge {a_{k + 1}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{13}^k{2^k} \ge C_{13}^{k - 1}{2^{k - 1}}\\C_{13}^k{2^k} \ge C_{13}^{k + 1}{2^{k + 1}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\dfrac{{13!}}{{k!\left( {13 - k!} \right)}} \ge \dfrac{{13!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {14 - k} \right)!}}\\\dfrac{{13!}}{{k!\left( {13 - k} \right)!}} \ge 2.\dfrac{{13!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {12 - k} \right)!}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{k} \ge \dfrac{1}{{14 - k}}\\\dfrac{1}{{13 - k}} \ge \dfrac{2}{{k + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}28 - 2k \ge k\\k + 1 \ge 26 - 2k\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3k \le 28\\3k \ge 27\end{array} \right. \Leftrightarrow 9 \le k \le \dfrac{{28}}{3}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 9\).

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển trên là \({a_9} = C_{13}^9{2^9}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.