Giả sử \(P\left( x \right) = {\left( {1 + 2x} \right)^n}\) được khai triển về dạng \({a_0} + {a_1}x +

Câu hỏi số 431022:

Vận dụng cao

Giả sử \(P\left( x \right) = {\left( {1 + 2x} \right)^n}\) được khai triển về dạng \({a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\) thỏa mãn hệ thức:

\({a_0} + \dfrac{{{a_1}}}{2} + \dfrac{{{a_2}}}{{{2^2}}} + ... + \dfrac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = {2^{12}}\)

Tìm hệ số \({a_k}\) lớn nhất \(\left( {0 \le k \le n} \right)\) trong khai triển trên.

A. \(C_{12}^8{2^8}\)

B. \(C_{12}^9{2^9}\)

C. \(C_{12}^{10}{2^{10}}\)

D. \(C_{12}^7{2^7}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:431022

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \), từ đó tìm số hạng tổng quát \(\dfrac{{{a_k}}}{{{2^k}}}\).

- Dựa vào giả thiết tìm \(n\).

- Thay \(n\) tìm được vào khai triển, giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k - 1}}\\{a_k} \ge {a_{k + 1}}\end{array} \right.\) tìm \(k\).

Giải chi tiết

Ta có: \(P\left( x \right) = {\left( {1 + 2x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {2x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{2^k}{x^k}} \).

\( \Rightarrow {a_k} = C_n^k{2^k}\). Xét thương \(\dfrac{{{a_k}}}{{{2^k}}} = C_n^k\), do đó theo bài ra ta có :

\(\begin{array}{l}{a_0} + \dfrac{{{a_1}}}{2} + \dfrac{{{a_2}}}{{{2^2}}} + ... + \dfrac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = {2^{12}}\\ \Leftrightarrow C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^{12}}\\ \Leftrightarrow {\left( {1 + 1} \right)^n} = {2^{12}}\\ \Leftrightarrow {2^n} = {2^{12}} \Leftrightarrow n = 12\end{array}\)

Khi đó ta có: \(P\left( x \right) = {\left( {1 + 2x} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{\left( {2x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{2^k}{x^k}} \).

Hệ số \({a_k}\) là hệ số của \({x^k}\), ta có \({a_k} = C_{12}^k{2^k}\).

Vì \({a_k}\) là hệ số lớn nhất nên \(\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k - 1}}\\{a_k} \ge {a_{k + 1}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{12}^k{2^k} \ge C_{12}^{k - 1}{2^{k - 1}}\\C_{12}^k{2^k} \ge C_{12}^{k + 1}{2^{k + 1}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\dfrac{{12!}}{{k!\left( {12 - k!} \right)}} \ge \dfrac{{12!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}\\\dfrac{{12!}}{{k!\left( {12 - k} \right)!}} \ge 2.\dfrac{{12!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {11 - k} \right)!}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{k} \ge \dfrac{1}{{13 - k}}\\\dfrac{1}{{12 - k}} \ge \dfrac{2}{{k + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}26 - 2k \ge k\\k + 1 \ge 24 - 2k\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3k \le 26\\3k \ge 23\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{23}}{3} \le k \le \dfrac{{26}}{3}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 8\).

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển trên là \({a_8} = C_{12}^8{2^8}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.