Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\Delta ABC\) vuông tại \(B.\) Trong \(\left(

Câu hỏi số 431294:

Vận dụng

Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\Delta ABC\) vuông tại \(B.\) Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AM \bot SB\) tại \(M.\) Trên cạnh \(SC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{SN}}{{SC}}.\) Chứng minh rằng:

a. \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) và \(AM \bot \left( {SBC} \right)\) b. \(SB \bot AN.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:431294

Phương pháp giải

Sử dụng các định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot c\\b \cap c \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( P \right)\), \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot d\).

Giải chi tiết

a) Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(BC \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\). Mà \(AM \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\).

Lại có \(AM \bot SB\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(AM \bot \left( {SBC} \right)\).

b) Ta có \(BC \bot \left( {SAB} \right)\,\,\left( {cmt} \right)\), \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{SN}}{{SC}} \Rightarrow MN//BC\) (định lí Ta-lét đảo).

\( \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right)\). Mà \(SB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot SB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SB \bot MN\,\,\left( {cmt} \right)\\SB \bot AM\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot \left( {AMN} \right)\). Mà \(AN \subset \left( {AMN} \right)\) nên \(SB \bot AN\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.