Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh đáy \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc. Kẻ \(OH \bot \left( {ABC}

Câu hỏi số 431298:

Vận dụng cao

Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh đáy \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc. Kẻ \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) tại \(H\). Chứng minh:

a. \(OA \bot BC,\,\,OB \bot CA,\,\,OC \bot AB\) b. \(H\)là trực tâm của\(\Delta ABC\) c. \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:431298

Phương pháp giải

Sử dụng các định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot c\\b \cap c \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( P \right)\), \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot d\).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot \left( {OBC} \right)\\BC \subset \left( {OBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot BC\).

Chứng minh tương tự ta có \(OB \bot \left( {OAC} \right) \Rightarrow OB \bot CA,\,\,OC \bot \left( {OAB} \right) \Rightarrow OC \bot AB\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OA\\BC \bot OH\,\,\left( {OH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {OAH} \right)\\AH \subset \left( {OAH} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\).

Chứng minh tương tự ta có \(AC \bot BH\).

Do đó \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\).

c) Trong \(\left( {ABC} \right)\) gọi \(AH \cap BC = \left\{ M \right\}\).

Ta có: \(\left( {OAH} \right) \equiv \left( {OAM} \right) \Rightarrow BC \bot \left( {OAM} \right)\).

Mà \(OM \subset \left( {OAM} \right) \Rightarrow BC \bot OM\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot \left( {OBC} \right)\,\,\left( {cmt} \right)\\OM \subset \left( {OBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot OM \Rightarrow \Delta OAM\) vuông tại \(O\).

Xét tam giác vuông \(OAM\), đường cao \(OH\) ta có: \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}}\) (hệ thức lượng).

Tiếp tục xét tam giác vuông \(OBC\), đường cao \(OM\) ta có: \(\dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\) (hệ thức lượng).

Vậy \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\) (đpcm).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.