Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh đáy \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc. Kẻ \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) tại \(H\). Chứng minh:
a. \(OA \bot BC,\,\,OB \bot CA,\,\,OC \bot AB\) b. \(H\)là trực tâm của\(\Delta ABC\) c. \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\)
Câu 431298:
Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh đáy \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc. Kẻ \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) tại \(H\). Chứng minh:
a. \(OA \bot BC,\,\,OB \bot CA,\,\,OC \bot AB\) b. \(H\)là trực tâm của\(\Delta ABC\) c. \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\)
Sử dụng các định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot c\\b \cap c \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( P \right)\), \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot d\).
-
Giải chi tiết:
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot \left( {OBC} \right)\\BC \subset \left( {OBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot BC\).
Chứng minh tương tự ta có \(OB \bot \left( {OAC} \right) \Rightarrow OB \bot CA,\,\,OC \bot \left( {OAB} \right) \Rightarrow OC \bot AB\).
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OA\\BC \bot OH\,\,\left( {OH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {OAH} \right)\\AH \subset \left( {OAH} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\).
Chứng minh tương tự ta có \(AC \bot BH\).
Do đó \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\).
c) Trong \(\left( {ABC} \right)\) gọi \(AH \cap BC = \left\{ M \right\}\).
Ta có: \(\left( {OAH} \right) \equiv \left( {OAM} \right) \Rightarrow BC \bot \left( {OAM} \right)\).
Mà \(OM \subset \left( {OAM} \right) \Rightarrow BC \bot OM\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot \left( {OBC} \right)\,\,\left( {cmt} \right)\\OM \subset \left( {OBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot OM \Rightarrow \Delta OAM\) vuông tại \(O\).
Xét tam giác vuông \(OAM\), đường cao \(OH\) ta có: \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}}\) (hệ thức lượng).
Tiếp tục xét tam giác vuông \(OBC\), đường cao \(OM\) ta có: \(\dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\) (hệ thức lượng).
Vậy \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\) (đpcm).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
