Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 ≤ 3y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = + + .

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 43229:

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x² + y² + z² ≤ 3y .

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{1}{(x+1)^{2}}$ + $\frac{4}{(y+2)^{2}}$ + $\frac{8}{(z+3)^{2}}$ .

A. MinP = 0

B. MinP = 1

C. MinP = 2

D. MinP = 3

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43229

Giải chi tiết

Ta có 2x + 4y + 2x ≤ (x² + 1) + (y² + 4) + (z² + 1) = x² + y² + z² + 6 ≤ 3y + 6

Suy ra 2x + y + 2z ≤ 6. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = $\frac{y}{2}$ = z = 1

Chú ý rằng với hai số dương a, b áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

$\frac{1}{a^{2}}$ + $\frac{1}{b^{2}}$ ≥ $\frac{8}{(a+b)^{2}}$ (*)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Áp dụng (*) ta được

P = $\frac{1}{(x+1)^{2}}$ + $\frac{1}{(\frac{y}{2}+1)^{2}}$ + $\frac{8}{(z+3)^{2}}$

≥ $\frac{8}{(x+1+\frac{y}{2}+1)^{2}}$ + $\frac{8}{(z+3)^{2}}$

≥ $\frac{64}{(x+\frac{y}{2}+2+z+3)^{2}}$ = $\frac{64}{(2x+y+2z+10)^{2}}$ ≥ $\frac{64.4}{(6+10)^{2}}$ = 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 1, y = 2, z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt khi x = 1, y = 2, z = 1 .

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.