Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng + - ≥ 12√2

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 43257:

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng

$\frac{a + 3c}{a + 2b + c}$ + $\frac{4b}{a + 2c + b}$ - $\frac{8c}{a + 3c + b}$ ≥ 12√2 - 17

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43257

Giải chi tiết

Đặt $\left\{\begin{matrix} x = a + 2b + c & \\ y = a + b + 2c & \\ z = a + b + 3c & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} a = 5y - x - 3z & \\ b = x + z - 2y & \\ c = z - y & \end{matrix}\right.$

Ta có: $\frac{a + 3c}{a + 2b + c}$ + $\frac{4b}{a + 2c + b}$ - $\frac{8c}{a + 3c + b}$

= $\frac{(5y - x - 3z) + 3(z - y)}{x}$ + $\frac{4(z + x - 2y)}{y}$ - $\frac{8(y - z)}{z}$

= $\frac{4x}{y}$ + $\frac{2y}{x}$ + $\frac{8y}{z}$ + $\frac{4z}{y}$ - 17

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM lần lượt cho 2 cặp số ( $\frac{4x}{y}$ ; $\frac{2y}{x}$ ) và ( $\frac{8y}{z}$ ; $\frac{4z}{y}$ ) ta thu được

$\frac{a + 3c}{a + 2b + c}$ + $\frac{4b}{a + 2c + b}$ - $\frac{8c}{a + 3c + b}$

≥ 2 $\sqrt{\frac{4x}{y} . \frac{2y}{x}}$ + 2 $\sqrt{\frac{8y}{z} . \frac{4z}{y}}$ - 17 = 12√2 - 17

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{4x}{y}$ = $\frac{2y}{x}$ <=> y = √2x

$\frac{8y}{z}$ = $\frac{4z}{y}$ <=> z = √2y = 2x

tức là a = (5√2 - 7)x, b = (3 - 2√2)x, c = (2 - √2)x

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.