Cho khối lăng trụ tam giác đều có thể tích \(V\) không đổi, cạnh đáy bằng \(a\), đường cao bằng \(h\) cùng thay đổi. Tính tỉ số \(\dfrac{h}{a}\) để diện tích toàn phần \({S_{tp}}\) của hình lăng trụ nhỏ nhất.

Câu 433662: Cho khối lăng trụ tam giác đều có thể tích \(V\) không đổi, cạnh đáy bằng \(a\), đường cao bằng \(h\) cùng thay đổi. Tính tỉ số \(\dfrac{h}{a}\) để diện tích toàn phần \({S_{tp}}\) của hình lăng trụ nhỏ nhất.

A. \(\dfrac{h}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\dfrac{h}{a} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(\dfrac{h}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\dfrac{h}{a} = \dfrac{2}{3}\)

Câu hỏi : 433662

Quảng cáo

Đáp án : C
(16) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = {S_{A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{S_{ABB'A'}} = {S_{BCC'B'}} = {S_{ACC'A'}} = ah\\ \Rightarrow {S_{tp}} = 2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 3.ah\end{array}\)

Lại có \({V_{ABC.A'B'C'}} = V = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.h\) không đổi \( \Rightarrow h = \dfrac{{4V}}{{{a^2}\sqrt 3 }}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 3.ah\\\,\,\,\,\,\,\, = 2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 3.a\dfrac{{4V}}{{{a^2}\sqrt 3 }}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{4\sqrt 3 V}}{a}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{2\sqrt 3 V}}{a} + \dfrac{{2\sqrt 3 V}}{a}\\\,\,\,\,\,\,\, \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{2\sqrt 3 V}}{a}.\dfrac{{2\sqrt 3 V}}{a}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = 3\sqrt[3]{{6\sqrt 3 {V^2}}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2\sqrt 3 V}}{a} \Leftrightarrow {a^3} = 4V\).

Khi đó ta có \(\dfrac{h}{a} = \dfrac{{4V}}{{{a^3}\sqrt 3 }} = \dfrac{{4V}}{{4V\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \({S_{tp}}\) đạt GTNN bằng \(3\sqrt[3]{{6\sqrt 3 {V^2}}}\) khi và chỉ khi \(\dfrac{h}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.