Cho khối lăng trụ tam giác đều có thể tích \(V\) không đổi, cạnh đáy bằng \(a\), đường cao
Cho khối lăng trụ tam giác đều có thể tích \(V\) không đổi, cạnh đáy bằng \(a\), đường cao bằng \(h\) cùng thay đổi. Tính tỉ số \(\dfrac{h}{a}\) để diện tích toàn phần \({S_{tp}}\) của hình lăng trụ nhỏ nhất.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = {S_{A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{S_{ABB'A'}} = {S_{BCC'B'}} = {S_{ACC'A'}} = ah\\ \Rightarrow {S_{tp}} = 2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 3.ah\end{array}\)
Lại có \({V_{ABC.A'B'C'}} = V = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.h\) không đổi \( \Rightarrow h = \dfrac{{4V}}{{{a^2}\sqrt 3 }}\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 3.ah\\\,\,\,\,\,\,\, = 2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 3.a\dfrac{{4V}}{{{a^2}\sqrt 3 }}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{4\sqrt 3 V}}{a}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{2\sqrt 3 V}}{a} + \dfrac{{2\sqrt 3 V}}{a}\\\,\,\,\,\,\,\, \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{2\sqrt 3 V}}{a}.\dfrac{{2\sqrt 3 V}}{a}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = 3\sqrt[3]{{6\sqrt 3 {V^2}}}\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2\sqrt 3 V}}{a} \Leftrightarrow {a^3} = 4V\).
Khi đó ta có \(\dfrac{h}{a} = \dfrac{{4V}}{{{a^3}\sqrt 3 }} = \dfrac{{4V}}{{4V\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \({S_{tp}}\) đạt GTNN bằng \(3\sqrt[3]{{6\sqrt 3 {V^2}}}\) khi và chỉ khi \(\dfrac{h}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
