Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + xy = \left( {x + y}

Câu hỏi số 434299:

Vận dụng

Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + xy = \left( {x + y} \right)\left( {xy + 2} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4\left( {\dfrac{{{x^3}}}{{{y^3}}} + \dfrac{{{y^3}}}{{{x^3}}}} \right) - 9\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}}} \right)\) bằng

A. \( - \dfrac{{25}}{4}.\)

B. \(5\).

C. \(- 13\).

D. \( - \dfrac{{23}}{4}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434299

Phương pháp giải

- Biến đổi biểu thức \(P\), đặt \(t = \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}\).

- Dựa vào giả thiết tìm điều kiện của \(t\) .

- Lập BBT và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có \(\left( {\dfrac{{{x^3}}}{{{y^3}}} + \dfrac{{{y^3}}}{{{x^3}}}} \right) = {\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right)^3} - 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}}} \right) = {\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right)^2} - 2\)

Đặt \(t = \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\).

\( \Rightarrow P = f\left( t \right) = 4\left( {{t^3} - 3t} \right) - 9\left( {{t^2} - 2} \right) = 4{t^3} - 9{t^2} - 12t + 18\)

Theo bài ra ta có:

\(2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + xy = \left( {x + y} \right)\left( {xy + 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + xy = {x^2}y + x{y^2} + 2\left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + xy = xy\left( {x + y} \right) + 2\left( {x + y} \right)\end{array}\)

Chia cả 2 vế cho \(xy\) ta có: \(2\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + 1 = \left( {x + y} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(2\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + 1 \ge 2\sqrt {2\left( {x + y} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)} = 2\sqrt {2\left( {2 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right)} \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2t + 1 \ge 2\sqrt {2\left( {2 + t} \right)} \\ \Leftrightarrow 4{t^2} + 4t + 1 \ge 4\left( {4 + 2t} \right)\\ \Leftrightarrow 4{t^2} - 4t - 15 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge \dfrac{5}{2}\\t \le - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(t \ge 2 \Rightarrow t \ge \dfrac{5}{2}\).

Xét \(f\left( t \right) = 4{t^3} - 9{t^2} - 12t + 18\) với \(t \ge \dfrac{5}{2}\) ta có \(f'\left( t \right) = 12{t^2} - 18t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\).

Lập BBT \( \Rightarrow MinP = f\left( {\dfrac{5}{2}} \right) = - \dfrac{{23}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.