Cho hàm số \(y = \dfrac{4}{3}{\sin ^3}x + 2{\cos ^2}x - \left( {2{m^2} - 5m + 2} \right)\sin x - 2017\). Gọi S là

Câu hỏi số 434300:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{4}{3}{\sin ^3}x + 2{\cos ^2}x - \left( {2{m^2} - 5m + 2} \right)\sin x - 2017\). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Tìm số phần tử của S.

A. \(0\).

B. \(1\).

C. \(2\).

D. Vô số.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434300

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ\(a = \sin x\), đưa hàm số về hàm 1 ẩn.

- Tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{4}{3}{\sin ^3}x + 2{\cos ^2}x - \left( {2{m^2} - 5m + 2} \right)\sin x - 2017\\y = \dfrac{4}{3}{\sin ^3}x - 2{\sin ^2}x - \left( {2{m^2} - 5m + 2} \right)\sin x - 2015\end{array}\)

Đặt \(\sin x = a \Rightarrow a \in \left( {0;1} \right)\).

Khi đó \(y = \dfrac{4}{3}{a^3} - 2{a^2} - \left( {2{m^2} - 5m + 2} \right)a - 2015\).

\( \Rightarrow y' = 4{a^2} - 4a - \left( {2{m^2} - 5m + 2} \right)\)

Để hàm số ban đầu đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) thì \(y'\left( a \right) \ge 0\,\,\forall a \in \left( {0;1} \right)\).

TH1: \(y'\left( a \right) \ge 0\,\,\forall a \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ' = 4 + 4\left( {2{m^2} - 5m + 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 8{m^2} - 20m + 12 \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le m \le \dfrac{3}{2}\end{array}\)

TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{3}{2}\\m < 1\end{array} \right.\), khi đó giả sử phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({a_1} < {a_2}\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left[ \begin{array}{l}{a_1} + {a_2} = 1\\{a_1}.{a_2} = \dfrac{{ - 2{m^2} + 5m - 2}}{4}\end{array} \right.\).

Ta có bảng xét dấu:

Khi đó để \(y' \ge 0\,\,\forall a \in \left( {0;1} \right)\) thì \(\left[ \begin{array}{l}{a_1} \ge 1\\{a_2} \le 0\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{a_1} = \dfrac{{2 - \sqrt {8{m^2} - 20m + 12} }}{4} \ge 1\\{a_2} = \dfrac{{2 + \sqrt {8{m^2} - 20m + 12} }}{4} \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {8{m^2} - 20m + 12} \le - 2\,\,\,\left( {Vo\,\,ly} \right)\\\sqrt {8{m^2} - 20m + 12} \le - 2\,\,\left( {Vo\,\,ly} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow m \in \emptyset \end{array}\)

Kết hợp 2 TH ta có \(m \in \left[ {1;\dfrac{3}{2}} \right]\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 1\).

\( \Rightarrow S = \left\{ 1 \right\}\). Vậy tập hợp S có 1 phần tử.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.