Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x\) cắt đồ

Câu hỏi số 434302:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m + 1\) tại 3 điểm phân biệt\(A,\,\,B,\,\,C\)sao cho \(AB = BC\).

A. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\).

B. \(m \in \left( { - \dfrac{5}{4}; + \infty } \right)\)

C. \(m \in \left( { - 2; + \infty } \right)\)

D. \(m \in \mathbb{R}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434302

Giải chi tiết

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left( {m - 1} \right)x;\,\,y = {x^3} - 3{x^2} + m + 1\) là:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - 3{x^2} + m + 1 = \left( {m - 1} \right)x\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + \left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x - m - 1 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = m + 2 > 0\\m \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 2\).

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*), khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - m - 1\end{array} \right.\).

Ta có \(AB = BC,\,\,A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng \( \Rightarrow B\) là trung điểm của \(AC\).

Do đó \(A\left( {{x_1};\left( {m - 1} \right){x_1}} \right);\,\,B\left( {1;m - 1} \right);\,\,C\left( {{x_2};\left( {m - 1} \right){x_2}} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,A{B^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - {x_1}} \right)^2} + \left( {m - 1} \right){\left( {1 - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_2} - 1} \right)^2} + \left( {m - 1} \right){\left( {{x_2} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - {x_1}} \right)^2} - {\left( {{x_2} - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left[ {{{\left( {1 - {x_1}} \right)}^2} - {{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {1 - {x_1}} \right)}^2} - {{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}} \right]\left( {1 - m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\left( {TM} \right)\\{\left( {1 - {x_1}} \right)^2} - {\left( {{x_2} - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\1 - {x_1} = {x_2} - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\{x_1} + {x_2} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\2 = 2\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right. \Rightarrow m \in \mathbb{R}\end{array}\)

Đối chiếu điều kiện \( \Rightarrow m > - 2\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.