Cho hình thang vuông \(ABCD\) \(\left( {\angle A = \angle D = {{90}^0}} \right)\) và \(CD = 2AB\). Kẻ \(DH\)

Câu hỏi số 434311:

Vận dụng

Cho hình thang vuông \(ABCD\) \(\left( {\angle A = \angle D = {{90}^0}} \right)\) và \(CD = 2AB\). Kẻ \(DH\) vuông góc với \(AC\)\(\left( {H \in AC} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(HC\), \(N\) là trung điểm của \(DH\). Chứng minh rằng:

a) \(MN \bot AD\)

b) \(ABMN\) là hình bình hành.

c) \(\angle BMD = {90^0}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434311

Phương pháp giải

a) Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

b) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

c) Áp dụng định nghĩa hình bình hành, từ vuông góc đến song song, tính chất ba đường cao của tam giác.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(MN \bot AD.\)

Vì \(ABCD\) là hình thang vuông có \(\angle A = \angle D = {90^0}\).

\( \Rightarrow AD \bot DC = \left\{ D \right\}\) (1)

Xét tam giác \(HDC\) ta có:

\(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(HC,\,\,HD\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow NM\) là đường trung bình của tam giác \(HDC\). (định nghĩa đường trung bình)

\( \Rightarrow NM\,{\rm{//}}\,DC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MN \bot AD\) tại \(G\) (từ vuông góc đến song song).

b) Chứng minh \(ABMN\) là hình bình hành.

Theo giả thiết, ta có: \(CD = 2AB \Rightarrow AB = \dfrac{1}{2}CD\)

Mà \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(HDC\,\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}DC\).

\( \Rightarrow AB = MN\left( { = \dfrac{1}{2}CD} \right).\).

Lại có: \(\left. \begin{array}{l}AB\,{\rm{//}}\,CD\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\MN\,{\rm{//}}\,CD\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB\,{\rm{//}}\,MN\).

Xét tứ giác \(ABMN\) ta có:

\(AB = MN\)

\(AB\,{\rm{//}}\,MN\)

\( \Rightarrow ABMN\) là hình bình hành (dhnb).

c) Chứng minh \(\angle BMD = {90^0}.\)

Kẻ \(AN\) cắt \(DM\) tại \(K\).

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}MG \bot AD\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\DH \bot AM\,\,\,\left( {gt} \right)\\MG \cap DH = \left\{ N \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow N\) là trực tâm của tam giác \(ADM\)

\( \Rightarrow AK \bot DM\) tại \(K\)

Ta có: \(ABMN\) là hình bình hành (cmt)

\( \Rightarrow BM\,{\rm{//}}\,AK\) \( \Rightarrow BM\, \bot \,DM\) (từ song song đến vuông góc)

\( \Rightarrow \angle BMD = {90^0}\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link