Cho hình thang vuông \(ABCD\) \(\left( {\angle A = \angle D = {{90}^0}} \right)\) và \(CD = 2AB\). Kẻ \(DH\) vuông góc với \(AC\)\(\left( {H \in AC} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(HC\), \(N\) là trung điểm của \(DH\). Chứng minh rằng:
a) \(MN \bot AD\)
b) \(ABMN\) là hình bình hành.
c) \(\angle BMD = {90^0}\)
Câu 434311: Cho hình thang vuông \(ABCD\) \(\left( {\angle A = \angle D = {{90}^0}} \right)\) và \(CD = 2AB\). Kẻ \(DH\) vuông góc với \(AC\)\(\left( {H \in AC} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(HC\), \(N\) là trung điểm của \(DH\). Chứng minh rằng:
a) \(MN \bot AD\)
b) \(ABMN\) là hình bình hành.
c) \(\angle BMD = {90^0}\)
a) Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác.
b) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
c) Áp dụng định nghĩa hình bình hành, từ vuông góc đến song song, tính chất ba đường cao của tam giác.
-
Giải chi tiết:
a) Chứng minh \(MN \bot AD.\)
Vì \(ABCD\) là hình thang vuông có \(\angle A = \angle D = {90^0}\).
\( \Rightarrow AD \bot DC = \left\{ D \right\}\) (1)
Xét tam giác \(HDC\) ta có:
\(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(HC,\,\,HD\,\,\,\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow NM\) là đường trung bình của tam giác \(HDC\). (định nghĩa đường trung bình)
\( \Rightarrow NM\,{\rm{//}}\,DC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MN \bot AD\) tại \(G\) (từ vuông góc đến song song).
b) Chứng minh \(ABMN\) là hình bình hành.
Theo giả thiết, ta có: \(CD = 2AB \Rightarrow AB = \dfrac{1}{2}CD\)
Mà \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(HDC\,\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}DC\).
\( \Rightarrow AB = MN\left( { = \dfrac{1}{2}CD} \right).\).
Lại có: \(\left. \begin{array}{l}AB\,{\rm{//}}\,CD\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\MN\,{\rm{//}}\,CD\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB\,{\rm{//}}\,MN\).
Xét tứ giác \(ABMN\) ta có:
\(AB = MN\)
\(AB\,{\rm{//}}\,MN\)
\( \Rightarrow ABMN\) là hình bình hành (dhnb).
c) Chứng minh \(\angle BMD = {90^0}.\)
Kẻ \(AN\) cắt \(DM\) tại \(K\).
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}MG \bot AD\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\DH \bot AM\,\,\,\left( {gt} \right)\\MG \cap DH = \left\{ N \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow N\) là trực tâm của tam giác \(ADM\)
\( \Rightarrow AK \bot DM\) tại \(K\)
Ta có: \(ABMN\) là hình bình hành (cmt)
\( \Rightarrow BM\,{\rm{//}}\,AK\) \( \Rightarrow BM\, \bot \,DM\) (từ song song đến vuông góc)
\( \Rightarrow \angle BMD = {90^0}\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
