Tính tích phân: I =

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 43487:

Tính tích phân: I = $\int_{-\frac{1}{2}}^{0}$ $\frac{dx}{1+\sqrt{-x(1+x)}}$

A. I = $\frac{(9+4\sqrt{3})\Pi }{18}$

B. I = $\frac{(9-4\sqrt{3})\Pi }{18}$

C. I = $\frac{(9+4\sqrt{3})\Pi }{-18}$

D. I = $\frac{(9-4\sqrt{3})\Pi }{-18}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43487

Giải chi tiết

I = $\int_{-\frac{1}{2}}^{0}$ $\frac{dx}{1+\sqrt{-x(1+x)}}$ = $\int_{-\frac{1}{2}}^{0}$ $\frac{dx}{1+\sqrt{\frac{1}{4}-(x+\frac{1}{2})^{2}}}$

Đặt x + $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ sint => dx = $\frac{1}{2}$ cost.dt với t ∈ $\left [ -\frac{\Pi }{2} ;\frac{\Pi }{2}\right ]$

Khi đó: I = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}$ $\frac{\frac{1}{2}costdt}{1+\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}sin^{2}t}}$ = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}$ $\frac{cost}{2+cost}$ dt

= $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}$ (1 - $\frac{2}{2+cost}$ )dt = $\frac{\Pi }{2}$ - 2J

Ta tính J = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}$ $\frac{dt}{2+cost}$ . Đặt t = tan $\frac{t}{2}$ => dt = $\frac{2dv}{1+v^{2}}$

Đổi cận ta có J = $\int_{0}^{1}$ $\frac{\frac{2dv}{1+v^{2}}}{2+\frac{1-v^{2}}{1+v^{2}}}$ = 2 $\int_{0}^{1}$ $\frac{dv}{3+v^{2}}$

Đặt v = √3 tanu; u ∈ (- $\frac{\Pi }{2}$ ; $\frac{\Pi }{2}$ ) => dv = √3(1 + tan²u)du

Suy ra J = 2 $\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}$ $\frac{\sqrt{3}(1+tan^{2}u)}{3+3tan^{2}u}$ du = $\frac{2}{\sqrt{3}}$ $\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}$ du = $\frac{2\Pi }{6\sqrt{3}}$

Vậy I = $\frac{\Pi }{2}$ - $\frac{4\Pi }{6\sqrt{3}}$ = $\frac{(9-4\sqrt{3})\Pi }{18}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.