Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ac = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức:

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 43488:

$A=\frac{a^{3}}{b+2c}+\frac{b^{3}}{c+2a}+\frac{c^{3}}{a+2b}$

A. MinA = -2

B. MinA = 1

C. MinA = -1

D. MinA = 2

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43488

Giải chi tiết

Vì a, b, c dương. Áp dụng BĐT Cô -si, ta có:

$\frac{a^{3}}{b+2c}+\frac{a(b+2c)}{9}\geq 2\sqrt{\frac{a^{3}}{b+2c}.\frac{a(b+2c)}{9}}=\frac{2a^{2}}{3}(1)$

$\frac{b^{3}}{c+2a}+\frac{b(c+2a)}{9}\geq 2\sqrt{\frac{b^{3}}{c+2a}\frac{b(c+2a)}{9}}=\frac{2b^{2}}{3}(2)$

$\frac{c^{3}}{a+2b}+\frac{c(a+2b)}{9}\geq 2\sqrt{\frac{c^{3}}{a+2b}.\frac{c(a+2b)}{9}}=\frac{2c^{2}}{3}(3)$

Cộng (1), (2) và (3) ta có:

$\frac{a^{3}}{b+2c}+\frac{b^{3}}{c+2a}+\frac{c^{3}}{a+2b}+\frac{ab+bc+ca}{3}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Mà ab + bc + ca = 3, ta có:

$\frac{a^{3}}{b+2c}+\frac{b^{3}}{c+2a}+\frac{c^{3}}{a+2b}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-1$

Lại có: (a²+ b²+ c²) ≥ ab + bc + ac = 3

Vậy $\frac{a^{3}}{b+2c}+\frac{b^{3}}{c+2a}+\frac{c^{3}}{a+2b}\geq \frac{2}{3}.3-1=1$

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy A đạt GTNN là 1 khi a = b = c = 1

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.