Tính tích phân sau I = dx hoặc J = dx

Câu hỏi số 43493:

Tính tích phân sau

I = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}\frac{tanx}{\sqrt{3 + sin^2x}}\,$ dx hoặc J = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{sin^3x}{sin^3x + cos^3x}\,$ dx

A. I = $\frac{1}{2}$ (ln( $\sqrt{15}$ + 4) + ln(√3 + 2)); J = $\frac{\pi}{4}$

B. I = $\frac{1}{2}$ (ln( $\sqrt{15}$ + 4) - ln(√3 + 2)); J = - $\frac{\pi}{4}$

C. I = $\frac{1}{2}$ (ln( $\sqrt{15}$ + 4) - ln(√3 - 2)) J = J = $\frac{\pi}{4}$

D. I = $\frac{1}{2}$ (ln( $\sqrt{15}$ + 4) - ln(√3 + 2)) ; J = $\frac{\pi}{4}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43493

Giải chi tiết

1. Tính I

I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}\frac{tanx}{\sqrt{3 + sin^2x}}\,$ dx = $\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}\frac{sinxcosx}{cos^2x\sqrt{4 - cos^2x}}\,$ dx

Đặt t = $\sqrt{4 - cos^2x}$

=> $\left\{\begin{matrix} cos^{2}x = 4 -t^{2}& \\ tdt = sin x . cos x dx& \end{matrix}\right.$

Đổi cận: x = 0 thì t = √3; khi x = $\frac{\pi}{3}$ thì t = $\frac{\sqrt{15}}{2}$

Khi đó I = $\int_{\sqrt{3}}^{\frac{\sqrt{15}}{2}}\frac{1}{4 - t^2}\,$ dt = $\frac{1}{4}$ $\left ( ln \left | \frac{t + 2}{t - 2} \right | \right )\left | \begin{matrix} \frac{\sqrt{15}}{2} & \\ \sqrt{3} & \end{matrix}$

= $\frac{1}{2}$ (ln( $\sqrt{15}$ + 4) - ln(√3 + 2))

2. Tính J

Đặt x = $\frac{\pi}{2}$ - t => dx = -dt

Đổi cận: x = 0 thì t = $\frac{\pi}{2}$ , x = $\frac{\pi}{2}$ thì t = 0

Khi đó J = $\int_{\frac{\pi }{2}}^{0}\frac{sin^3(\frac{\Pi }{2} - t)}{sin^3(\frac{\Pi }{2} - t) + cos^3(\frac{\Pi }{2} - t)}\,$ (-dt)

= $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cos^3t}{sin^3t + cos^3t}\,$ dt = J

Vậy 2J = J + J = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cos^3x + sin^3x}{sin^3x + cos^3x}\,$ dx = $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ dx = $\frac{\pi}{2}$

=> J = $\frac{\pi}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.