Tìm \(a\) để phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x - a} \right) = 0\) có đúng hai nghiệm thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\).
Câu 435069: Tìm \(a\) để phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x - a} \right) = 0\) có đúng hai nghiệm thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\).
A. \(a \in \left[ { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
B. \(a \in \left[ { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right) \cup \left\{ { \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right\}\)
C. \(a \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
D. \(a \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) \cup \left\{ { \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right\}\).
Quảng cáo
- Giải phương trình tích.
- Giải phương trình lượng giác cơ bản, tìm số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\), sau đó biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số.
-
Đáp án : D(13) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x - a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\\cos x - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{1}{2}\\\cos x = a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\\cos x = a\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \) có 1 nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} \in \left( {0;\pi } \right)\).
Họ nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \) có 1 nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} \in \left( {0;\pi } \right)\).
Do đó để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\) thì hoặc phương trình (*) vô nghiệm, hoặc phương trình (*) có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6}\) hoặc \(x = \dfrac{{5\pi }}{6}\).
TH1: (*) vô nghiệm \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\a < - 1\end{array} \right.\).
TH2: (*) có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6}\).
\( \Rightarrow \cos \dfrac{\pi }{6} - a = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Thử lại: Với \(a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \) có đúng 1 nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} \in \left( {0;\pi } \right)\).
TH3: (*) có nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6}\).
\( \Rightarrow \cos \dfrac{{5\pi }}{6} - a = 0 \Leftrightarrow a = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Thử lại: Với \(a = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \cos x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \) có đúng 1 nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} \in \left( {0;\pi } \right)\).
Vậy \(a \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) \cup \left\{ { \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right\}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com