Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z > 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 43513:

Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z > 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = $\frac{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}{(x+y+z)^{3}}$

A. $\frac{47}{81}$

B. $\frac{54}{81}$

C. $\frac{44}{81}$

D. $\frac{64}{81}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43513

Giải chi tiết

Trước hết ta có: x³ + y³ ≥ $\frac{(x+y)^{3}}4{}$ (biến đổi tương đương)

<=> ... <=> (x – y)²(x + y) ≥0

Đặt x + y + z = a

Khi đó 4P ≥ $\frac{(x+y)^{3}+64z^{3}}{a^{3}}$ = $\frac{(a-z)^{3}+64z^{3}}{a^{3}}$ = (1 - t)³+ 64t³

(với t = $\frac{z}{a}$ , 0 ≤ t ≤ 1 )

Xét hàm số f(t) = (1 - t)³+ 64t³ với t ∈ [0; 1]

Có f'(t) = 3[64t²- (1 - t)²] ; f'(t) = 0 <=> t = $\frac{1}{9}$ ∈ [0; 1]

Lập bảng biến thiên

=> $\min_{t\epsilon [0;1]}f(t)$ = $\frac{64}{81}$ => GTNN của P là $\frac{64}{81}$ đạt được khi x = y = 4z > 0

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.