Trong mặt phẳng Oxy, cho (E): + = 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E) có hoành độ dương sao cho tam giác AOB vuông tại O và có diện tích nhỏ nhất.

Câu hỏi số 43516:

Trong mặt phẳng Oxy, cho (E): $\frac{x^{2}}{16}$ + $\frac{y^{2}}{9}$ = 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E) có hoành độ dương sao cho tam giác AOB vuông tại O và có diện tích nhỏ nhất.

A. A $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right )$ , B $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )$

B. A $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )$ , B $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right )$

C. A $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )$ , B $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right )$ hoặc A $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right )$ , B $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )$

D. A(2; $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ); B(2; - $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ )

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43516

Giải chi tiết

Gọi A(x_A; y_A), B(x_B; y_B)

Gọi Phương trình đường thẳng OA là ax + by = 0 (a²+ b² ≠ 0)

Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} ax_{A}+by_{A}=0 & & \\ \frac{x^{2}_{A}}{16}+\frac{y^{2}_{A}}{9}=1 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x^{2} _{A}=\frac{144b^{2}}{16a^{2}+9b^{2}}& & \\ y^{2} _{A}=\frac{144a^{2}}{16a^{2}+9b^{2}}& & \end{matrix}\right.$

Suy ra OA² = $\frac{144(a^{2}+b^{2})}{16a^{2}+9b^{2}}$

Phương trình đường thẳng OB vuông góc với OA là: bx - ay = 0

Tương tự: OB² = $\frac{144(a^{2}+b^{2})}{16b^{2}+9a^{2}}$

Ta có: $\frac{1}{OA^{2}}$ + $\frac{1}{OB^{2}}$ = $\frac{25}{144}$ ≥ $\frac{2}{OA.OB}$ ⇔ OA.OB ≥ $\frac{144.2}{25}$

S_ABC = $\frac{1}{2}$ OA.OB ≥ $\frac{144}{25}$

Dấu "=" xảy ra ⇔ OA = OB ⇔ 16a²+ 9b² = 16b²+ 9a²

⇔ a² = b^2 ⇔

* Nếu a = b thì chọn a = b = 1

Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} ax_{A}+by_{A}=0 & & \\ \frac{x^{2}_{A}}{16}+\frac{y^{2}_{A}}{9}=1 & & \end{matrix}\right.$

Do x_A > 0 nên chọn: $\left\{\begin{matrix} x_{A}=\frac{12}{5} & & \\ y_{A}=-\frac{12}{5} & & \end{matrix}\right.$ => A $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )$ => B $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right )$

* Nếu a = -b. Chọn a = 1, b = -1. Tương tự A $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right )$ , B $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )$

Vậy A $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )$ , B $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right )$ hoặc A $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right )$ , B $\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.