Tìm \(m\) để phương trình \(2{\sin ^3}x - 5{\cos ^2}x - \left( {2m - 3} \right)\sin x = 4m - 7\) có đúng hai nghiệm âm phân biệt và một nghiệm dương thuộc khoảng \(\left( { - \pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Câu 435787: Tìm \(m\) để phương trình \(2{\sin ^3}x - 5{\cos ^2}x - \left( {2m - 3} \right)\sin x = 4m - 7\) có đúng hai nghiệm âm phân biệt và một nghiệm dương thuộc khoảng \(\left( { - \pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

A. \(m \in \left( {-1;\dfrac{1}{2}} \right)\).

B. \(m \in \left( {-\dfrac{1}{2};1} \right)\).

C. \(m \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\).

D. \(m \in \left( {-1;-\dfrac{1}{2}} \right)\).

Câu hỏi : 435787

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\).

- Đặt \(t = \sin x,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc ba ẩn \(t\).

- Đưa phương trình bậc ba ẩn \(t\) về dạng tích.

- Sử dụng đồ thị hàm số để biện luận nghiệm.

Đáp án : C
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{\sin ^3}x - 5{\cos ^2}x - \left( {2m - 3} \right)\sin x = 4m - 7\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 5\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - \left( {2m - 3} \right)\sin x = 4m - 7\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + 5{\sin ^2}x - \left( {2m - 3} \right)\sin x - 4m + 2 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = \sin x,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), khi đó phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{t^3} + 5{t^2} - \left( {2m - 3} \right)t - 4m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 2} \right)\left( {2{t^2} + t - 2m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\,\,\left( {KTM} \right)\\2{t^2} + t - 2m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\).

Ta có đồ thị hàm số \(y = \sin x\) trên \(\left( { - \pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) như sau:

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương thuộc \(\left( { - \pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) thì phương trình (*) cần có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \( - 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1\).

Xét phương trình (*) có: \(\Delta = {1^2} - 4.2.\left( { - 2m + 1} \right) = 16m - 7 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{7}{{16}}\).

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {16m - 7} }}{4}\\{t_2} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {16m - 7} }}{4}\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l} - 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < \dfrac{{ - 1 - \sqrt {16m - 7} }}{4} < 0\\0 < \dfrac{{ - 1 + \sqrt {16m - 7} }}{4} < 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < - 1 - \sqrt {16m - 7} < 0\\0 < - 1 + \sqrt {16m - 7} < 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < - \sqrt {16m - 7} < 1\\1 < \sqrt {16m - 7} < 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < \sqrt {16m - 7} < 3\\1 < \sqrt {16m - 7} < 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 1 < \sqrt {16m - 7} < 3\\ \Leftrightarrow 1 < 16m - 7 < 9\\ \Leftrightarrow 8 < 16m < 16\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m < 1\end{array}\)

Vậy \(m \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.