Tìm \(m\) để phương trình \(2{\sin ^3}x - 5{\cos ^2}x - \left( {2m - 3} \right)\sin x = 4m - 7\) có đúng hai

Câu hỏi số 435787:

Vận dụng cao

Tìm \(m\) để phương trình \(2{\sin ^3}x - 5{\cos ^2}x - \left( {2m - 3} \right)\sin x = 4m - 7\) có đúng hai nghiệm âm phân biệt và một nghiệm dương thuộc khoảng \(\left( { - \pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

A. \(m \in \left( {-1;\dfrac{1}{2}} \right)\).

B. \(m \in \left( {-\dfrac{1}{2};1} \right)\).

C. \(m \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\).

D. \(m \in \left( {-1;-\dfrac{1}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:435787

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\).

- Đặt \(t = \sin x,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc ba ẩn \(t\).

- Đưa phương trình bậc ba ẩn \(t\) về dạng tích.

- Sử dụng đồ thị hàm số để biện luận nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{\sin ^3}x - 5{\cos ^2}x - \left( {2m - 3} \right)\sin x = 4m - 7\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 5\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - \left( {2m - 3} \right)\sin x = 4m - 7\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + 5{\sin ^2}x - \left( {2m - 3} \right)\sin x - 4m + 2 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = \sin x,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), khi đó phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{t^3} + 5{t^2} - \left( {2m - 3} \right)t - 4m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 2} \right)\left( {2{t^2} + t - 2m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\,\,\left( {KTM} \right)\\2{t^2} + t - 2m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\).

Ta có đồ thị hàm số \(y = \sin x\) trên \(\left( { - \pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) như sau:

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương thuộc \(\left( { - \pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) thì phương trình (*) cần có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \( - 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1\).

Xét phương trình (*) có: \(\Delta = {1^2} - 4.2.\left( { - 2m + 1} \right) = 16m - 7 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{7}{{16}}\).

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {16m - 7} }}{4}\\{t_2} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {16m - 7} }}{4}\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l} - 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < \dfrac{{ - 1 - \sqrt {16m - 7} }}{4} < 0\\0 < \dfrac{{ - 1 + \sqrt {16m - 7} }}{4} < 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < - 1 - \sqrt {16m - 7} < 0\\0 < - 1 + \sqrt {16m - 7} < 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < - \sqrt {16m - 7} < 1\\1 < \sqrt {16m - 7} < 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < \sqrt {16m - 7} < 3\\1 < \sqrt {16m - 7} < 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 1 < \sqrt {16m - 7} < 3\\ \Leftrightarrow 1 < 16m - 7 < 9\\ \Leftrightarrow 8 < 16m < 16\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m < 1\end{array}\)

Vậy \(m \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.