Số nghiệm phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} = {\sin ^2}x - 3\sin x + 2\)

Câu hỏi số 435806:

Vận dụng

Số nghiệm phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} = {\sin ^2}x - 3\sin x + 2\) trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) là:

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(0\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:435806

Phương pháp giải

- Khai triển hằng đẳng thức, sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \).

- Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Giải bất phương trình \(0 \le x \le \dfrac{\pi }{2}\), tìm số nghiệm thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\left( {\sin \dfrac{x}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} = {\sin ^2}x - 3\sin x + 2\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\dfrac{x}{2} - 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} + {\cos ^2}\dfrac{x}{2} = {\sin ^2}x - 3\sin x + 2\\ \Leftrightarrow 1 - \sin x = {\sin ^2}x - 3\sin x + 2\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x - 2\sin x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sin x - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \sin x = 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vì \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} \le k \le 0\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\).

Vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) là \(x = \dfrac{\pi }{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.