Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {4;0;0} \right),\,\,B\left(

Câu hỏi số 436767:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {4;0;0} \right),\,\,B\left( {{x_0};{y_0};0} \right)\) với \({x_0} > 0,\,\,{y_0} > 0\) sao cho \(OB = 8\) và \(\angle AOB = {60^0}\). Gọi \(C\left( {0;0;c} \right)\) với \(c > 0\). Để thể tích tứ diện \(OABC\) bằng \(16\sqrt 3 \) thì giá trị thích hợp của \(c\) là:

A. \(6\)

B. \(3\)

C. \(\sqrt 3 \)

D. \(6\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:436767

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \(\cos \angle AOB = \dfrac{{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}}\) tìm \({x_0}\).

- Dựa vào độ dài \(OB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_O}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_O}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_O}} \right)}^2}} \) tìm \({y_0}\).

- Sử dụng công thức tính thể tích \({V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right].\overrightarrow {OC} } \right|\) tìm \(c\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {4;0;0} \right);\,\,\overrightarrow {OB} = \left( {{x_0};{y_0};0} \right);\,\,\overrightarrow {OC} = \left( {0;0;c} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle AOB = \dfrac{{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \dfrac{{4{x_0}}}{{4.8}}\\ \Rightarrow \cos {60^0} = \dfrac{{{x_0}}}{8} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {x_0} = 4\end{array}\)

Ta lại có: \(OB = 8 \Leftrightarrow \sqrt {x_0^2 + y_0^2} = 8 \Leftrightarrow \sqrt {{4^2} + y_0^2} = 8 \Leftrightarrow {y_0} = 4\sqrt 3 \) (do \({y_0} > 0\)).

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {4;0;0} \right);\,\,\overrightarrow {OB} = \left( {4;4\sqrt 3 ;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0;0;16\sqrt 3 } \right)\).

Khi đó ta có: \({V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right].\overrightarrow {OC} } \right| = \dfrac{1}{6}.\left| {16\sqrt 3 c} \right| = \dfrac{{8\sqrt 3 c}}{3}\,\,\left( {do\,\,c > 0} \right)\).

Theo bài ra ta có: \(\dfrac{{8\sqrt 3 c}}{3} = 16\sqrt 3 \Leftrightarrow c = 6\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.