Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = - {x^2}\left( {{x^2} + 2m} \right)

Câu hỏi số 436803:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = - {x^2}\left( {{x^2} + 2m} \right) + 1 - m\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông?

A. \(m = \dfrac{2}{3}\)

B. \(m = \sqrt[3]{3}\)

C. \(m = \dfrac{1}{3}\)

D. \(m = - 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:436803

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm, tìm ĐK để phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

- Giải phương trình \(y' = 0\) tìm 3 điểm cực trị \(A,\,\,B,\,\,C\) của đồ thị hàm số với \(A \in Oy\).

- Để \(\Delta ABC\) vuông thì phải vuông tại \( \Leftrightarrow AI = \dfrac{1}{2}BC\) (I là trung điểm của BC), giải phương trình tìm \(m\) và đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết

+ \(y = - {x^4} - 2m{x^2} + 1 - m\)

\( \Rightarrow y' = - 4{x^3} - 4mx = 0\) phải có 3 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} + m} \right) = 0\) phải có 3 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow m < 0\)

+ Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt { - m} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {0;1 - m} \right)\\B\left( { - \sqrt { - m} ;{m^2} - m + 1} \right)\\C\left( {\sqrt { - m} ;{m^2} - m + 1} \right)\end{array} \right.\)

\(\Delta ABC\) luôn cân đỉnh A \( \Rightarrow \) để \(\Delta ABC\) vuông thì phải vuông tại A

\( \Leftrightarrow AI = \dfrac{1}{2}BC\) (I là trung điểm của BC)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{y_A} - {y_B}} \right| = \dfrac{1}{2}\left| {{x_B} - {x_C}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{m^2}} \right| = \dfrac{1}{2}\left| {2\sqrt { - m} } \right|\\ \Leftrightarrow {m^2} = \sqrt { - m} \\ \Leftrightarrow {m^4} = - m\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,(loai)\\m = - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.