Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành với \(AC = a\,\,;\,\,BD = b\,\,;\,\,O\) là giao

Câu hỏi số 437955:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành với \(AC = a\,\,;\,\,BD = b\,\,;\,\,O\) là giao điểm hai đường chéo và \(\Delta SBD\) đều. Cho \(I\) là điểm di động trên cạnh \(AC\) với \(AI = x\,\,\,\left( {0 < x < a} \right).\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(I\) và song song với \(\left( {SBD} \right).\)

a) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo \(a,b,x.\)

b) Tìm \(x\) để diện tích thiết diện lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:437955

Giải chi tiết

a) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo \(a,b,x.\)

TH1: \(0 < x \le \dfrac{a}{2}\).

Vì \(\left( \alpha \right)//\left( {SBD} \right)\) nên \(\left( \alpha \right)//BD\), do đó \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN//BD\), \(MN\) qua \(I\)\(\left( {M \in AB,\,\,N \in AD} \right)\).

Vì \(\left( \alpha \right)//\left( {SBD} \right)\) nên \(\left( \alpha \right)//SB\), do đó \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = MP//SB\)\(\left( {P \in SA} \right)\).

\( \Rightarrow \) Thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tam giác \(MNP\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{AI}}{{AO}} = \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AD}} = \dfrac{{MN}}{{BD}} = \dfrac{{MP}}{{SB}} = \dfrac{{PN}}{{SD}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BD}} = \dfrac{{NP}}{{SB}} = \dfrac{{PN}}{{SD}} \Rightarrow \Delta MNP \sim \Delta SBD\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{AI}}{{AO}} = \dfrac{x}{{a/2}} = \dfrac{{2x}}{a}\).

Tam giác \(SBD\) đều cạnh \(b\) nên có diện tích \({S_{\Delta SBD}} = \dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Ta có: \(\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta SBD}}}} = {\left( {\dfrac{{2x}}{a}} \right)^2} = \dfrac{{4{x^2}}}{{{a^2}}} \Rightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.\dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{x^2}{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\).

TH2: \(\dfrac{a}{2} < x < a\).

Chứng minh tương tự ta xác định được thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) như hình vẽ.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{CI}}{{CO}} = \dfrac{{CM}}{{CB}} = \dfrac{{CN}}{{CD}} = \dfrac{{MN}}{{BD}} = \dfrac{{MP}}{{SB}} = \dfrac{{PN}}{{SD}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BD}} = \dfrac{{NP}}{{SB}} = \dfrac{{PN}}{{SD}} \Rightarrow \Delta MNP \sim \Delta SBD\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{CI}}{{CO}} = \dfrac{{a - x}}{{a/2}} = \dfrac{{2\left( {a - x} \right)}}{a}\).

Tam giác \(SBD\) đều cạnh \(b\) nên có diện tích \({S_{\Delta SBD}} = \dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Ta có: \(\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta SBD}}}} = {\left( {\dfrac{{2\left( {a - x} \right)}}{a}} \right)^2} = \dfrac{{4{{\left( {a - x} \right)}^2}}}{{{a^2}}} \Rightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{{4{{\left( {a - x} \right)}^2}}}{{{a^2}}}.\dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {a - x} \right)}^2}{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\).

b) Tìm \(x\) để diện tích thiết diện lớn nhất.

Ta có: \({S_{\Delta MNP}} = \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\,\,khi\,\,0 < x \le \dfrac{a}{2}\\\dfrac{{{{\left( {a - x} \right)}^2}{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\,\,khi\,\,\dfrac{a}{2} < x < a\end{array} \right.\)

Dễ thấy:

Khi \(0 < x \le \dfrac{a}{2} \Rightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{{{x^2}{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\) đạt GTLN khi và chỉ khi \({x_{\max }} \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{2}\).

Khi đó \({S_{\Delta MNP\,\,\max }} = {S_{\Delta SBD}} = \dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Khi \(\dfrac{a}{2} < x < a \Rightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{{{{\left( {a - x} \right)}^2}{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\) đạt GTLN khi và chỉ khi \({x_{\min }}\)\( \Leftrightarrow \) Không tồn tại giá trị của \(x\).

Vậy \({S_{\Delta MNP\,\,\max }} = {S_{\Delta SBD}} = \dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{2}\) hay \(I \equiv O\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.