Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành với \(AC = a\,\,;\,\,BD = b\,\,;\,\,O\) là giao
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành với \(AC = a\,\,;\,\,BD = b\,\,;\,\,O\) là giao điểm hai đường chéo và \(\Delta SBD\) đều. Cho \(I\) là điểm di động trên cạnh \(AC\) với \(AI = x\,\,\,\left( {0 < x < a} \right).\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(I\) và song song với \(\left( {SBD} \right).\)
a) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo \(a,b,x.\)
b) Tìm \(x\) để diện tích thiết diện lớn nhất.
Quảng cáo
a) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo \(a,b,x.\)
TH1: \(0 < x \le \dfrac{a}{2}\).
Vì \(\left( \alpha \right)//\left( {SBD} \right)\) nên \(\left( \alpha \right)//BD\), do đó \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN//BD\), \(MN\) qua \(I\)\(\left( {M \in AB,\,\,N \in AD} \right)\).
Vì \(\left( \alpha \right)//\left( {SBD} \right)\) nên \(\left( \alpha \right)//SB\), do đó \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = MP//SB\)\(\left( {P \in SA} \right)\).
\( \Rightarrow \) Thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tam giác \(MNP\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{AI}}{{AO}} = \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AD}} = \dfrac{{MN}}{{BD}} = \dfrac{{MP}}{{SB}} = \dfrac{{PN}}{{SD}}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BD}} = \dfrac{{NP}}{{SB}} = \dfrac{{PN}}{{SD}} \Rightarrow \Delta MNP \sim \Delta SBD\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{AI}}{{AO}} = \dfrac{x}{{a/2}} = \dfrac{{2x}}{a}\).
Tam giác \(SBD\) đều cạnh \(b\) nên có diện tích \({S_{\Delta SBD}} = \dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Ta có: \(\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta SBD}}}} = {\left( {\dfrac{{2x}}{a}} \right)^2} = \dfrac{{4{x^2}}}{{{a^2}}} \Rightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.\dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{x^2}{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\).
TH2: \(\dfrac{a}{2} < x < a\).
Chứng minh tương tự ta xác định được thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) như hình vẽ.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{CI}}{{CO}} = \dfrac{{CM}}{{CB}} = \dfrac{{CN}}{{CD}} = \dfrac{{MN}}{{BD}} = \dfrac{{MP}}{{SB}} = \dfrac{{PN}}{{SD}}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BD}} = \dfrac{{NP}}{{SB}} = \dfrac{{PN}}{{SD}} \Rightarrow \Delta MNP \sim \Delta SBD\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{CI}}{{CO}} = \dfrac{{a - x}}{{a/2}} = \dfrac{{2\left( {a - x} \right)}}{a}\).
Tam giác \(SBD\) đều cạnh \(b\) nên có diện tích \({S_{\Delta SBD}} = \dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Ta có: \(\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta SBD}}}} = {\left( {\dfrac{{2\left( {a - x} \right)}}{a}} \right)^2} = \dfrac{{4{{\left( {a - x} \right)}^2}}}{{{a^2}}} \Rightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{{4{{\left( {a - x} \right)}^2}}}{{{a^2}}}.\dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {a - x} \right)}^2}{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\).
b) Tìm \(x\) để diện tích thiết diện lớn nhất.
Ta có: \({S_{\Delta MNP}} = \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\,\,khi\,\,0 < x \le \dfrac{a}{2}\\\dfrac{{{{\left( {a - x} \right)}^2}{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\,\,khi\,\,\dfrac{a}{2} < x < a\end{array} \right.\)
Dễ thấy:
Khi \(0 < x \le \dfrac{a}{2} \Rightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{{{x^2}{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\) đạt GTLN khi và chỉ khi \({x_{\max }} \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{2}\).
Khi đó \({S_{\Delta MNP\,\,\max }} = {S_{\Delta SBD}} = \dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Khi \(\dfrac{a}{2} < x < a \Rightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{{{{\left( {a - x} \right)}^2}{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\) đạt GTLN khi và chỉ khi \({x_{\min }}\)\( \Leftrightarrow \) Không tồn tại giá trị của \(x\).
Vậy \({S_{\Delta MNP\,\,\max }} = {S_{\Delta SBD}} = \dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{2}\) hay \(I \equiv O\).
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
