Cho biểu thức: \(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\,\,\,\,\left( {x \ne

Câu hỏi số 438439:

Vận dụng

Cho biểu thức: \(A = \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\,\,\,\,\left( {x \ne 1;\,\,x \ge 0} \right)\). Rút gọn \(A\), sau đó tính giá trị \(A - 1\) khi \(x = 2016 + 2\sqrt {2015} \).

A. \(\dfrac{{\sqrt {2015} }}{{2015}}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {2016} }}{{2016}}\).

C. \(\dfrac{{1 - \sqrt {2016} }}{{2015}}\).

D. \(\dfrac{{2016 - \sqrt {2015} }}{{2016}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:438439

Phương pháp giải

- Rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức, sau đó khử nhân tử chung ở mẫu số và tử số.

- Tìm \(\sqrt x \) bằng hằng đẳng thức, thay giá trị \(\sqrt x \) tìm được để tính \(A - 1\).

Giải chi tiết

Với \(x \ne 1,\,\,x \ge 0\), ta có:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\A = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}\\A = \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \left( {\sqrt x - 1} \right)\\A = \dfrac{{x - \sqrt x + 1 - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 1}}\\A = \dfrac{{x - \sqrt x + 1 - x + 2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\\ \Rightarrow A - 1 = \dfrac{{\sqrt x - \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\end{array}\)

Ta có: \(x = 2016 + 2\sqrt {2015} \) thỏa mãn điều kiện \(x \ne 1,\,\,x \ge 0\).

\(x = 2015 + 2\sqrt {2015} + 1 = {\left( {\sqrt {2015} + 1} \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {2015} + 1\).

Thay vào biểu thức \(A - 1\) ta được \(A - 1 = \dfrac{1}{{\sqrt {2015} }} = \dfrac{{\sqrt {2015} }}{{2015}}\).

Vậy \(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}};\,\,A - 1 = \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\) và khi \(x = 2016 + 2\sqrt {2015} \) thì \(A - 1 = \dfrac{{\sqrt {2015} }}{{2015}}\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link