Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({2^{2{x^2} - 15x + 100}} - {2^{{x^2} + 10x - 50}} + {x^2} - 25x +

Câu hỏi số 438765:

Vận dụng

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({2^{2{x^2} - 15x + 100}} - {2^{{x^2} + 10x - 50}} + {x^2} - 25x + 150 < 0\) là

A. \(6.\)

B. \(4.\)

C. \(3\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:438765

Phương pháp giải

Sử dung hàm đặc trưng và tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^{2{x^2} - 15x + 100}} - {2^{{x^2} + 10x - 50}} + {x^2} - 25x + 150 < 0\\ \Leftrightarrow {2^{2{x^2} - 15x + 100}} - {2^{{x^2} + 10x - 50}} + \left( {2{x^2} - 15x + 100} \right) - \left( {{x^2} + 10x - 50} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {2^{2{x^2} - 15x + 100}} + 2{x^2} - 15x + 100 < {2^{{x^2} + 10x - 50}} + {x^2} + 10x - 50\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\), do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Từ đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,f\left( {2{x^2} - 15x + 100} \right) < f\left( {{x^2} + 10x - 50} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 15x + 100 < {x^2} + 10x - 50\\ \Leftrightarrow {x^2} - 25x + 150 < 0\\ \Leftrightarrow 10 < x < 15\end{array}\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {11;12;13;14} \right\}\).

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.