Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy,
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy bằng \({30^0}\). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)
Qua \(G,\) dựng đường thẳng \(d\) song song với \(SA\) \( \Rightarrow d \bot \left( {ABC} \right)\)
Dựng đường trung trực của \(SA,\) cắt \(d\) tại \(I\) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối \(SABC.\)
\( \Rightarrow IS = IA = IB = IC = R\)
Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là:\(S = 4\pi {R^2}.\)
Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)
Qua \(G,\) dựng đường thẳng \(d\) song song với \(SA\) \( \Rightarrow d \bot \left( {ABC} \right)\)
Dựng đường trung trực của \(SA,\) cắt \(d\) tại \(I\) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối \(SABC.\)
\( \Rightarrow R = AI.\)
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(SA.\)
Ta có: \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AM \bot BC\) (tính chất tam giác đều).
Lại có: \(\Delta SBC\) cân tại \(S\) \( \Rightarrow SM \bot BC = \left\{ M \right\}\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right),\,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM,\,\,AM} \right) = \angle SMA = {30^0}\)
\( \Rightarrow SA = AM.\tan {30^0} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = a.\)
Có \(AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Ta có: \(ANIG\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AN = IG = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a}{2}.\)
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta AIG\) vuông tại \(G\) ta có:
\(R = AI = \sqrt {A{G^2} + G{I^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{6}.\)
\( \Rightarrow \) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SABC\) là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt {57} }}{6}} \right)^2} = \dfrac{{19\pi {a^2}}}{3}.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
