Cho x,y là các số thực không âm thỏa mãn x+ y = 1. Tìm giá trị nhỏ hất của biểu thức: P = 3 + 2

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 44049:

Cho x,y là các số thực không âm thỏa mãn x+ y = 1. Tìm giá trị nhỏ hất của biểu thức:

P = 3 $\dpi{100} \sqrt{1+2x^{2}}$ + 2 $\dpi{100} \sqrt{40+9y^{2}}$

A. MinP = 3√11

B. MinP = 4√11

C. MinP = 5√11

D. MinP = 6√11

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:44049

Giải chi tiết

Ta dễ dàng CM được BĐT Svac-xơ sau:

$\dpi{100} \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}$ ≥ $\dpi{100} \frac{(a_{1}+a_{2})^{2}}{b_{1}+b_{2}}$ ;∀ a₁, a₂, b₁, b₂ ∈ R và b₁, b₂ > 0

Ta có 3 $\dpi{100} \sqrt{1+2x^{2}}$ = 3 $\dpi{100} \sqrt{\frac{3^{2}}{9}+\frac{4x^{2}}{2}}$ ≥ 3 $\dpi{100} \sqrt{\frac{(3+2x)^{2}}{11}}$ = $\dpi{100} \frac{3}{\sqrt{11}}$ (3 +2x) (1)

2 $\dpi{100} \sqrt{40+9y^{2}}$ = 2 $\dpi{100} \sqrt{\frac{40^{2}}{40}+\frac{36y^{2}}{4}}$ ≥ 2 $\dpi{100} \sqrt{\frac{(40+6y)^{2}}{44}}$ = $\dpi{100} \frac{\sqrt{11}}{11}$ (40+ 6y) (2)

Từ (1) và (2) => P ≥ $\dpi{100} \frac{3}{\sqrt{11}}$ (3 +2x) + $\dpi{100} \frac{\sqrt{11}}{11}$ (40+ 6y) = $\dpi{100} \frac{\sqrt{11}}{11}$ (49 + 6x + 6y) = 5√11

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x = $\dpi{100} \frac{1}{3}$ ; y = $\dpi{100} \frac{2}{3}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.