Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số

Câu hỏi số 440818:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 3} \right)\) và các mệnh đề sau:

I. Hàm số \(g\left( x \right)\) có \(3\) điểm cực trị.

II. Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0.\)

III. Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = 2.\)

IV. Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;\,\,0} \right).\)

V. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,\,1} \right).\)

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(4\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:440818

Phương pháp giải

Ta có: \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại.

Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương.

Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm.

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Giải chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta có:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,0} \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = 1\) và đạt cực tiểu tại \(x = 0.\)

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 3} \right)\) ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3} \right)'f'\left( {{x^2} - 3} \right)\) \( = 2xf'\left( {{x^2} - 3} \right)\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2xf'\left( {{x^2} - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} - 3} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 3 = - 2\\{x^2} - 3 = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = \pm 2\end{array} \right.\)

Với \(x = 3\) ta có: \(g'\left( x \right) = 6f'\left( 6 \right) > 0\)

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy:

Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị \( \Rightarrow I\) sai.

Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\) \( \Rightarrow II\) đúng.

Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 2\) \( \Rightarrow III\) sai.

Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {0;\,\,1} \right)\)\( \Rightarrow IV\) sai.

Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {0;\,\,1} \right)\)\( \Rightarrow V\) sai.

Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên.

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.