Tính tổng \(S = 2019 + C_{2019}^0 - 2C_{2019}^1 + 4C_{2019}^2 - 8C_{2019}^3... -

Câu hỏi số 441673:

Vận dụng

Tính tổng \(S = 2019 + C_{2019}^0 - 2C_{2019}^1 + 4C_{2019}^2 - 8C_{2019}^3... - {2^{2019}}C_{2019}^{2019}\).

A. \(S = 2018.\)

B. \(S = 2019 - {2^{2019}}.\)

C. \(S = 2020.\)

D. \(S = 2019 + {2^{2019}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:441673

Phương pháp giải

- Sử dụng khai triển nhị thức Niu-tơn: \({\left( {x + a} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}{a^{n - k}}} \).

- Thay giá trị \(x\) phù hợp với đề bài và tính tổng.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = 2019 + C_{2019}^0 - 2C_{2019}^1 + 4C_{2019}^2 - 8C_{2019}^3... - {2^{2019}}C_{2019}^{2019}\\S = 2019 + {2^0}C_{2019}^0 - {2^1}C_{2019}^1 + {2^2}C_{2019}^2 - {2^3}C_{2019}^3... - {2^{2019}}C_{2019}^{2019}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{2^k}{x^{2019 - k}}} \\ = {2^0}C_{2019}^0{x^{2019}} - {2^1}C_{2019}^1{x^{2018}} + {2^2}C_{2019}^2{x^{2017}} - ... - {2^{2019}}C_{2019}^{2019}\end{array}\)

Thay \(x = 1\) ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {1 - 2} \right)^{2019}} = {2^0}C_{2019}^0 - {2^1}C_{2019}^1 + {2^2}C_{2019}^2 - {2^3}C_{2019}^3... - {2^{2019}}C_{2019}^{2019}\\ \Rightarrow - 1 = {2^0}C_{2019}^0 - {2^1}C_{2019}^1 + {2^2}C_{2019}^2 - {2^3}C_{2019}^3... - {2^{2019}}C_{2019}^{2019}\end{array}\)

Vậy \(S = 2019 + \left( { - 1} \right) = 2018\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.