Trong mặt phẳng Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình - = 1 và đường thẳng d: x - y = 2. Gọi A, B là giao điểm của d và (H). Tìm tọa độ điểm C trên (H) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 8.

Câu hỏi số 44257:

Trong mặt phẳng Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình $\frac{x^{2}}{4}$ - $\frac{y^{2}}{8}$ = 1 và đường thẳng d: x - y = 2. Gọi A, B là giao điểm của d và (H). Tìm tọa độ điểm C trên (H) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 8.

A. C(-4 - 2 $\sqrt{10}$ ; -8 - 2 $\sqrt{10}$ )

B. C( -4 + 2 $\sqrt{10}$ ; -8 + 2 $\sqrt{10}$ )

C. C(2√2; 2√2) và C(-2√2; -2√2)

D. Cả A, B, C

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:44257

Giải chi tiết

Tọa độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1 & & \\ x-y-2=0 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1 & & \\ x=y+2 & & \end{matrix}\right.$

=> $\frac{(y+2)^{2}}{4}$ - $\frac{y^{2}}{8}$ = 1 ⇔ 2(y² + 4y + 4) – y² = 8 ⇔ y² + 8y = 0

⇔ $\left [\begin{matrix} y=0 & & \\ y=-8 & & \end{matrix}$

Nếu y = 0 => x = 2 => A(2; 0)

Nếu y = -8 => x = -6 => B(-6; -8)

Vậy (d) ∩ (H) = {A(2; 0); B(-6; -8)} => AB = 8√2

Gọi C(x₀; y₀) ∈ (H) ta có $\frac{x^{2}_{0}}{4}$ - $\frac{y^{2}_{0}}{8}$ = 1 (1)

Gọi H là hình chiếu của C lên d có diện tích tam giác ABC là:

S_ABC = $\frac{1}{2}$ AB.CH = CH.4√2

Trong đó CH = d(C,(d)) = $\frac{|x_{0}-y_{0}-2|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}$ = $\frac{|x_{0}-y_{0}-2|}{\sqrt{2}}$

S_ABC = 8 ⇔ 4√2. $\frac{|x_{0}-y_{0}-2|}{\sqrt{2}}$ = 8

⇔ |x₀ – y₀ - 2| = 2 ⇔ $\left [\begin{matrix} x_{0}-y_{0}-2=2 & & \\ x_{0}-y_{0}-2=-2 & & \end{matrix}$ ⇔ $\left [\begin{matrix} x_{0} =y_{0}+4& & \\ x_{0} =y_{0}& & \end{matrix}$

TH1)Với x₀= y₀+ 4 ta có:

$\frac{(y_{0}+4)^{2}}{4}$ - $\frac{y_{o}^{2}}{8}$ = 1 ⇔ 2(y₀² + 8y₀ + 16) – y₀² = 8 ⇔ y₀² + 16y₀ + 24 = 0

=> y₀ = -8 ± 2 $\sqrt{10}$

Nếu y₀ = -8 - 2 $\sqrt{10}$ => x₀ = -4 - 2 $\sqrt{10}$

Nếu y₀ = -8 + 2 $\sqrt{10}$ => x₀ = -4 + 2 $\sqrt{10}$

TH2)Với x₀ = y₀ ta có: $\frac{x^{2}_{0}}{4}$ - $\frac{x^{2}_{0}}{8}$ = 1 ⇔ $\frac{x^{2}_{0}}{8}$ = 1 ⇔ x₀ = ± 2√2

=> x₀ = y₀ = 2√2 hoặc x₀ = y₀ = -2√2

Vậy ta tìm được 4 điểm C thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.