Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 2z – 2 =0 và các điểm A(0; 1; 1), B(-1;-2;-3) và C(1; 0;-3). Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất.

Câu hỏi số 44262:

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x²+ y²+ z² - 2x + 2z – 2 =0 và các điểm A(0; 1; 1), B(-1;-2;-3) và C(1; 0;-3). Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất.

A. D( $\frac{7}{3}$ ; - $\frac{4}{3}$ ; - $\frac{1}{3}$ )

B. D( $\frac{7}{3}$ ; - $\frac{4}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ )

C. D( $\frac{7}{3}$ ; $\frac{4}{3}$ ; - $\frac{1}{3}$ )

D. D(- $\frac{7}{3}$ ; - $\frac{4}{3}$ ; - $\frac{1}{3}$ )

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:44262

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0;-1), bán kính R = 2

$\overrightarrow{AB}$ = (-1;-3;-4), $\overrightarrow{AC}$ = (1;-1;-4)

Gọi (P) là mặt phẳng chứa 3 điểm A, B, C nhận $\overrightarrow{n}$ = $\frac{1}{4}$ [ $\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{AC}$ ] = (2;-2; 1) làm véctơ pháp tuyến

Phương trình của (P) là: 2x - 2y + z + 1 = 0

Ta có: d(I; (P)) = $\frac{|2-0-1+1|}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}$ = $\frac{2}{3}$ < 2 = R

Nên (S) ∩ (P) = (C). Gọi D là điểm thuộc mặt cầu (S)

Ta có: V_ABCD = $\frac{1}{3}$ d_(D;(P)).S_ABC.

V_ABCD lớn nhất khi d_(D;(P))lớn nhất.

Gọi D₁D₂ là đường kính của (S) vuông góc với (P)

d_(D;(P)) ≤ max{ d_(D1;(P)); d_(D2;(P))}

Dấu "=" xảy ra ⇔ D ≡ D₁ hoặc D ≡ D₂

Đường thẳng D₁D₂ đi qua I nhận $\overrightarrow{n}$ làm vecto chỉ phương nên có phương trình: $\left\{\begin{matrix} x=1+2t & & \\ y=-2t & & \\ z=-1+t & & \end{matrix}\right.$

Gọi D(1 +2 t; -2t; -1 + t) ∈ D₁D₂là điểm cần tìm => d(D;(P)) = $\frac{|9t+2|}{3}$

Khi đó ta có: (1 + 2t)² + 4t² +(- 1 + t)² - 2(1+ 2t) + 2( -1 + t) -2= 0 => t = ± $\frac{2}{3}$

Ta có: d_(D1;(P)) = $\frac{|9.\frac{2}{3}+2|}{3}$ > $\frac{|9.(-\frac{2}{3})+2|}{3}$ = d_(D2;(P))

Vậy D ≡ D₁ với t = $\frac{2}{3}$ . Suy ra D( $\frac{7}{3}$ ; - $\frac{4}{3}$ ; - $\frac{1}{3}$ )

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.