Cho hàm số: y = 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên (HS tự làm) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó cắt các tiệm cận tại các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất.

Câu hỏi số 44271:

Cho hàm số: y = $\frac{x - 2}{x + 1}$

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên (HS tự làm)

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó cắt các tiệm cận tại các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất.

A. y = x + 2 + 2√3 hoặc y = x + 2 - 2√3

B. y = x - 2 - 2√3 hoặc y = x + 2 - 2√3

C. y = x + 2 + 2√3 hoặc y = x - 2 - 2√3

D. y = x - 2 + 2√3 hoặc y = x + 2 - 2√3

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:44271

Giải chi tiết

Tập xác định: D = R \ {-1}

y' = $\frac{3}{(x + 1)^2}$ > 0 ∀x ≠ -1

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞)

Hàm số không có cực trị

$\lim_{x \rightarrow (-1)^+}$ y = -∞, $\lim_{x \rightarrow (-1)^-}$ y = +∞ => Tiệm cận đứng: x = -1

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty }$ y = 1 => Tiệm cận ngang: y = 1

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại (2;0), cắt trục Oy tại (0; -2),

Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận I(-1; 1) làm tâm đối xứng.

Tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1, tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M $\left ( x_0; \frac{x_0 - 2}{x_0 + 1} \right )$ có dạng

y = $\frac{3}{(x_0 + 1)^2}$ (x - x₀) + $\frac{x_0 - 2}{x_0 + 1}$

Do đó tiếp tuyến cắt TCĐ, TCN lần lượt tại các điểm

A $\left ( -1; \frac{x_0 - 5}{x_0 + 1} \right )$ , B(2x₀ + 1; 1)

Ta có AB = $\sqrt{(2x_0 + 2)^2 + \left ( 1 - \frac{x_0 - 5}{x_0 + 1} \right )^2}$

=2 $\sqrt{(x_0 + 1)^2 + \frac{9}{(x_0 + 1)^2}}$

Xét hàm số f(t) = t + $\frac{9}{t}$ với t > 0 với t = (x₀+ 1)²

Ta có f’(t) = 1 - $\frac{9}{t^{2}}$ ; f’(t) = 0 <=> t = 3 hoặc t = -3 (loại)

Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) trên (0; +∞) ta suy ra được

min f(t) = f(3) = 6

=> AB ≥2 √6

Dấu “ = ” xảy ra khi (x₀+ 1)² = 3 <=> $\left [ \begin{matrix} x_0 = -1 - \sqrt{3} & \\ x_0 = -1 + \sqrt{3} & \end{matrix}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x₀; y₀) có dạng:

y = y’(x₀) (x – x₀) + y₀

Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là

y = x + 2 + 2√3 hoặc y = x + 2 - 2√3

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.