Tìm hệ số của x3 trong khai triển Niuton của biểu thức (2 + 2x – x2

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Tổ hợp - Xác suất

Câu hỏi số 44301:

Tìm hệ số của x³ trong khai triển Niuton của biểu thức (2 + 2x – x² – x³)ⁿ

biết rằng: C_n^0 - $\frac{1}{2}C_n^1$ + $\frac{1}{3}C_n^2$ - ... + $(-1)^n\frac{1}{n + 1}C_n^n$ = $\frac{1}{13}$

A. 76.2¹¹

B. 76.2¹²

C. 7.2¹¹

D. 6.2¹¹

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:44301

Giải chi tiết

Theo khai triển nhị thức Niuton ta có

(1 + x)ⁿ = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2x^2 + ... + C_n^nx^n

Lấy tích phân 2 vế với cận từ -1 đến 0 ta được

$\int_{-1}^{0}$ (1 + x)ⁿdx= $\int_{-1}^{0}$ ( C_n^0 + C_n^1x + C_n^2x^2 + ... + C_n^nx^n )dx

=> $\frac{(1 + x)^{n + 1}}{n + 1}\left | \begin{matrix} 0 & \\ -1 & \end{matrix}$ = ( C_n^0 + $C_n^1\frac{x^2}{2}$ + $C_n^2\frac{x^3}{3}$ + ... + $C_n^n\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ ) $\left | \begin{matrix} 0 & \\ -1 & \end{matrix}$

=> $\frac{1}{n + 1}$ = C_n^0 - $\frac{1}{2}C_n^1$ + $\frac{1}{3}C_n^2$ - ...+ $(-1)^n\frac{1}{n + 1}C_n^n$ = $\frac{1}{13}$

=> n = 12

Ta có (2 + 2x – x² – x³)¹² = (1 + x )¹² (2 – x²)¹² do đó số hạng tổng quát của khai triển là:

$C_{12}^k.x^kC_{12}^l.2^{12 - l}(-x^2)^l$ = $C_{12}^k.C_{12}^l.2^{12 - l}(-1)^l. x^{k + 2l}$

với k, l là các số nguyên thỏa mãn 0 ≤ k, l ≤ 12

Để có x³ thì k + 2l =3, từ đó ta tìm được k = 3, l = 0 hoặc k = l = 1

Do đó hệ số của x³ là: $C_{12}^3.C_{12}^0.2^{12}$ - $C_{12}^1.C_{12}^1.2^{11}$ = 76.2¹¹

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.